Escreva cada uma das proposições a seguir em linguagem natural, decida seu valor lógico no universo de discurso
determine sua negação.
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Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A proposição dada é
. Nosso objetivo é:
- Escrever a proposição em linguagem natural.
- Decidir seu valor lógico no universo de discurso
(conjunto dos números naturais). - Determinar sua negação.
Para isso, precisamos entender os quantificadores usados:
-
significa “para todo” ou “para cada”. -
significa “existe”.
Além disso, estamos trabalhando com a relação de desigualdade “maior que” entre números naturais.
Passo 2
1. Escrevendo a proposição em linguagem natural:
A proposição
pode ser traduzida como:
“Para todo número natural
, existe um número natural
tal que
é maior que
.”
2. Decidindo seu valor lógico no universo de
:
Vamos analisar se essa afirmação é verdadeira ou falsa dentro dos números naturais.
-
Análise: Para qualquer número natural
, podemos encontrar um número natural que seja menor que . Por exemplo, se , podemos escolher ; se , podemos escolher (considerando que é incluído em ). -
Consideração Especial: Se considerarmos que
não é um número natural, então para , não existe um natural que seja menor que . Nesse caso, a proposição seria falsa. -
Conclusão: Dependendo da definição de
(se inclui ou não o ), a proposição pode ser verdadeira ou falsa. Comumente, inclui o , então a proposição é verdadeira.
3. Determinando a negação da proposição:
A negação de uma proposição
é dada por:
Em linguagem natural:
“Existe um número natural
tal que para todo número natural
,
é menor ou igual a
.”
Resposta
A proposição em linguagem natural é: “Para todo número natural
, existe um número natural
tal que
é maior que
.” Seu valor lógico no conjunto dos números naturais é verdadeiro. A negação da proposição é: “Existe um número natural
tal que para todo número natural
,
é menor ou igual a
.”