Escreva cada uma das proposições a seguir em linguagem natural, decida seu valor lógico no universo de discurso N determine sua negação.
h) ∀m ∃n (m > n)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A proposição dada é ∀m ∃n (m > n). Nosso objetivo é:
  1. Escrever a proposição em linguagem natural.
  2. Decidir seu valor lógico no universo de discurso N (conjunto dos números naturais).
  3. Determinar sua negação.
Para isso, precisamos entender os quantificadores usados:
  • significa “para todo” ou “para cada”.
  • significa “existe”.
Além disso, estamos trabalhando com a relação de desigualdade “maior que” entre números naturais.

Passo 2

1. Escrevendo a proposição em linguagem natural:
A proposição ∀m ∃n (m > n) pode ser traduzida como:
“Para todo número natural m, existe um número natural n tal que m é maior que n.”
2. Decidindo seu valor lógico no universo de N:
Vamos analisar se essa afirmação é verdadeira ou falsa dentro dos números naturais.
  • Análise: Para qualquer número natural m, podemos encontrar um número natural n que seja menor que m. Por exemplo, se , podemos escolher ; se , podemos escolher (considerando que 0 é incluído em N).
  • Consideração Especial: Se considerarmos que 0 não é um número natural, então para , não existe um n natural que seja menor que 1. Nesse caso, a proposição seria falsa.
  • Conclusão: Dependendo da definição de N (se inclui ou não o 0), a proposição pode ser verdadeira ou falsa. Comumente, N inclui o 0, então a proposição é verdadeira.
3. Determinando a negação da proposição:
A negação de uma proposição ∀m ∃n (m > n) é dada por:
Em linguagem natural:
“Existe um número natural m tal que para todo número natural n, m é menor ou igual a n.”

Resposta

A proposição em linguagem natural é: “Para todo número natural m, existe um número natural n tal que m é maior que n.” Seu valor lógico no conjunto dos números naturais é verdadeiro. A negação da proposição é: “Existe um número natural m tal que para todo número natural n, m é menor ou igual a n.”

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