Escreva cada uma das proposições a seguir em linguagem natural, decida seu valor lógico no universo de discurso determine sua negação.
h)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A proposição dada é . Nosso objetivo é:
  1. Escrever a proposição em linguagem natural.
  2. Decidir seu valor lógico no universo de discurso (conjunto dos números naturais).
  3. Determinar sua negação.
Para isso, precisamos entender os quantificadores usados:
  • significa “para todo” ou “para cada”.
  • significa “existe”.
Além disso, estamos trabalhando com a relação de desigualdade “maior que” entre números naturais.

Passo 2

1. Escrevendo a proposição em linguagem natural:
A proposição pode ser traduzida como:
“Para todo número natural , existe um número natural tal que é maior que .”
2. Decidindo seu valor lógico no universo de :
Vamos analisar se essa afirmação é verdadeira ou falsa dentro dos números naturais.
  • Análise: Para qualquer número natural , podemos encontrar um número natural que seja menor que . Por exemplo, se , podemos escolher ; se , podemos escolher (considerando que é incluído em ).
  • Consideração Especial: Se considerarmos que não é um número natural, então para , não existe um natural que seja menor que . Nesse caso, a proposição seria falsa.
  • Conclusão: Dependendo da definição de (se inclui ou não o ), a proposição pode ser verdadeira ou falsa. Comumente, inclui o , então a proposição é verdadeira.
3. Determinando a negação da proposição:
A negação de uma proposição é dada por:
Em linguagem natural:
“Existe um número natural tal que para todo número natural , é menor ou igual a .”

Resposta

A proposição em linguagem natural é: “Para todo número natural , existe um número natural tal que é maior que .” Seu valor lógico no conjunto dos números naturais é verdadeiro. A negação da proposição é: “Existe um número natural tal que para todo número natural , é menor ou igual a .”

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Escreva cada uma das proposições a seguir em linguagem natural, decida seu valor lógico no universo de discurso determine sua negação.
e)
Classifique cada uma das proposições a seguir em universal ou particular e, em seguida, determine sua negação em uma forma que não contenha :
h)
Para cada um dos teoremas a seguir, identifique a hipótese, a tese e, se for o caso, reescreva na forma condicional.
c) Três pontos não colineares determinam um círculo.
Os teoremas a seguir ficam artificiais quando escritos como condicionais. Em cada caso, descreva em linhas gerais o que seria preciso fazer para demonstrá-los.
b) O número não é primo.