Escreva cada uma das proposições a seguir em linguagem natural, decida seu valor lógico no universo de discurso N determine sua negação.
a) forall m forall n (m + n > m)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma proposição lógica que envolve quantificadores e operações matemáticas no conjunto dos números naturais, . Nosso objetivo é:
  1. Escrever a proposição em linguagem natural.
  2. Determinar se essa proposição é verdadeira ou falsa no universo de discurso .
  3. Encontrar a negação dessa proposição.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre quantificadores universais ( ) e existenciais ( ), além de como traduzir expressões matemáticas para o português.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir a proposição para a linguagem natural. O símbolo significa “para todo” ou “para cada”. Então, a proposição diz:
“Para todo número natural e para todo número natural , a soma de e é maior que .”

Passo 3

Agora, vamos analisar se essa afirmação é verdadeira no conjunto dos números naturais . Os números naturais geralmente começam em 1, mas em algumas definições incluem o 0. Vamos considerar que inclui 0.
Se , então , e a proposição diria que , o que não é verdade, pois . Portanto, a afirmação original não é verdadeira para todos os números naturais.

Passo 4

Como a proposição original não é verdadeira para todos os casos, vamos determinar a sua negação. A negação de uma proposição universal é uma proposição existencial .
Então, a negação de é:
Em linguagem natural:
“Existe pelo menos um número natural e pelo menos um número natural tal que a soma de e não é maior que .”

Resposta

a) Em linguagem natural: “Para todo número natural e para todo número natural , a soma de e é maior que .”
Valor lógico no universo : Falsa.
Negação: “Existe pelo menos um número natural e pelo menos um número natural tal que a soma de e não é maior que .”

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