Escreva cinco outras integrais iteradas que sejam iguais à integral iterada dada.

Passo 1

Beleza! Vamos lá. O enunciado pede para escrever cinco outras integrais iteradas que sejam iguais à integral iterada dada. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo multivariado, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como podemos mudar a ordem de integração e ajustar os limites para obter integrais equivalentes.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a integral iterada dada seja uma integral dupla típica, como por exemplo:
Aqui, estamos integrando a função primeiro em relação a de a , e depois em relação a de a .

Passo 3

Uma maneira de obter integrais iguais é mudar a ordem de integração. Assim, podemos escrever:
Essa é a primeira integral equivalente, onde integramos primeiro em relação a e depois em .

Passo 4

Outra forma é ajustar os limites de integração se a região de integração for retangular. Por exemplo, podemos dividir o intervalo de ou de em subintervalos:
Aqui, dividimos o intervalo de em duas partes e somamos as integrais correspondentes.

Passo 5

Podemos também combinar as integrais de formas diferentes, mantendo a mesma ordem de integração:
Essa é outra maneira de dividir o intervalo de e somar as partes.

Passo 6

Além disso, se a função tiver simetria, podemos explorar isso para criar integrais equivalentes. Por exemplo, se , podemos escrever:
Isso nos dá uma integral equivalente usando a simetria da função.

Passo 7

Finalmente, podemos usar substituições de variáveis que preservem a forma da integral. Por exemplo, fazendo e , onde e são constantes, a integral permanece equivalente:
Essa é a quinta integral equivalente utilizando uma mudança de variável.

Resposta

Com isso, escrevemos cinco outras integrais iteradas que são iguais à integral iterada original.

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