Escreva cinco outras integrais iteradas que sejam iguais à integral iterada dada.
Passo 1
Beleza! Vamos lá. O enunciado pede para escrever cinco outras integrais iteradas que sejam iguais à integral iterada dada. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo multivariado, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como podemos mudar a ordem de integração e ajustar os limites para obter integrais equivalentes.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a integral iterada dada seja uma integral dupla típica, como por exemplo:
Aqui, estamos integrando a função
primeiro em relação a
de
a
, e depois em relação a
de
a
.
Passo 3
Uma maneira de obter integrais iguais é mudar a ordem de integração. Assim, podemos escrever:
Essa é a primeira integral equivalente, onde integramos
primeiro em relação a
e depois em
.
Passo 4
Outra forma é ajustar os limites de integração se a região de integração for retangular. Por exemplo, podemos dividir o intervalo de
ou de
em subintervalos:
Aqui, dividimos o intervalo de
em duas partes e somamos as integrais correspondentes.
Passo 5
Podemos também combinar as integrais de formas diferentes, mantendo a mesma ordem de integração:
Essa é outra maneira de dividir o intervalo de
e somar as partes.
Passo 6
Além disso, se a função
tiver simetria, podemos explorar isso para criar integrais equivalentes. Por exemplo, se
, podemos escrever:
Isso nos dá uma integral equivalente usando a simetria da função.
Passo 7
Finalmente, podemos usar substituições de variáveis que preservem a forma da integral. Por exemplo, fazendo
e
, onde
e
são constantes, a integral permanece equivalente:
Essa é a quinta integral equivalente utilizando uma mudança de variável.
Resposta
Com isso, escrevemos cinco outras integrais iteradas que são iguais à integral iterada original.
Exercícios relacionados
Se
é a posição de um corpo móvel no instante
, ache tempo, posição e velocidade em cada momento em que a aceleração é nula. (Lembre-se a velocidade é a taxa com que a posição de um objeto se modifica com o tempo, e a aceleração é a taxa com que a velocidade se modifica pelo tempo).
Use a derivação implicita para determinar
Resolva a equação trigonométrica:
Prove a identidade: