Suponha que a região
do primeiro quadrante não contém a origem e é delimitada pelas retas
e pela parábola
.
Se
é uma função contínua nos pontos de
, como se escreve sua integral dupla sobre essa região na ordem
?
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma região
no primeiro quadrante, limitada pelas retas
,
e pela parábola
. O objetivo aqui é escrever a integral dupla de uma função contínua
sobre essa região na ordem
. Para isso, vamos precisar entender como identificar os limites de integração para
e
nessa ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Ela está no primeiro quadrante, ou seja, onde
e
são positivos. As fronteiras são:
- A reta vertical
- A reta diagonal
- A parábola
Nossa meta é encontrar os limites de
para cada
fixo entre as curvas dadas.
Passo 3
Para organizar a integral na ordem
, precisamos expressar
em termos de
. Isso significa que, para cada valor de
, vamos determinar de onde até onde
varia.
Observando as equações:
- Da parábola
, podemos expressar - Da reta
, temos - A reta
limita o valor máximo de
Então, para cada
,
varia de
até
, mas precisamos determinar os limites de
.
Passo 4
Vamos encontrar os valores de
onde as curvas se intersectam:
- Igualando
e : Assim, ou . Porém, como estamos no primeiro quadrante e limitados por , o valor relevante é , onde .
Portanto,
varia de
a
.
Resposta
A integral dupla de
sobre a região
na ordem
é dada por: