Suponha que a região D do primeiro quadrante não contém a origem e é delimitada pelas retas x = 1/2, y = x e pela parábola y = x^2.
Se z = f(x, y) é uma função contínua nos pontos de D, como se escreve sua integral dupla sobre essa região na ordem d x d y ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma região no primeiro quadrante, limitada pelas retas , e pela parábola . O objetivo aqui é escrever a integral dupla de uma função contínua sobre essa região na ordem . Para isso, vamos precisar entender como identificar os limites de integração para e nessa ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Ela está no primeiro quadrante, ou seja, onde e são positivos. As fronteiras são:
  • A reta vertical
  • A reta diagonal
  • A parábola
Nossa meta é encontrar os limites de para cada fixo entre as curvas dadas.

Passo 3

Para organizar a integral na ordem , precisamos expressar em termos de . Isso significa que, para cada valor de , vamos determinar de onde até onde varia.
Observando as equações:
  • Da parábola , podemos expressar
  • Da reta , temos
  • A reta limita o valor máximo de
Então, para cada , varia de até , mas precisamos determinar os limites de .

Passo 4

Vamos encontrar os valores de onde as curvas se intersectam:
  • Igualando e : Assim, ou . Porém, como estamos no primeiro quadrante e limitados por , o valor relevante é , onde .
Portanto, varia de a .

Resposta

A integral dupla de sobre a região na ordem é dada por:

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