Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve cálculo de integrais duplas. O enunciado pede para inverter a ordem de integração e calcular a integral
Para isso, vamos precisar entender como mudar a ordem das integrações e aplicar propriedades de integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. O limite interno é de a e o limite externo é de a . Vamos desenhar essa região no plano .
Passo 3
No plano , a linha pode ser reescrita como . Então, a região de integração está entre e , com variando de 0 a 1.
Passo 4
Agora, vamos inverter a ordem de integração. Em vez de integrar primeiro em e depois em , vamos integrar primeiro em e depois em . Os novos limites de integração serão:
Passo 5
Com a ordem de integração invertida, a integral fica:
Note que não depende de , então a integral interna é simples.
Passo 6
Vamos calcular a integral interna em relação a :
Passo 7
Agora, substituímos isso na integral externa:
integral0^1 2x e^x^2 d x
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição simples.
Passo 8
Vamos fazer a substituição integral0^1 e^u du , então . Isso simplifica a integral para: