Inverta a ordem de integração e calcule
integral0^2(integraly / 2^1 e^x^2 d x) d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve cálculo de integrais duplas. O enunciado pede para inverter a ordem de integração e calcular a integral
integral0^2(integraly / 2^1 e^x^2 d x) d y
Para isso, vamos precisar entender como mudar a ordem das integrações e aplicar propriedades de integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. O limite interno é de a e o limite externo é de a . Vamos desenhar essa região no plano .

Passo 3

No plano , a linha pode ser reescrita como . Então, a região de integração está entre e , com variando de 0 a 1.

Passo 4

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Em vez de integrar primeiro em x de 0 a 1 e depois em y de 0 a 2x , vamos integrar primeiro em e depois em . Os novos limites de integração serão:

Passo 5

Com a ordem de integração invertida, a integral fica:
integral0^1(integral0^2x e^x^2 d y) d x
Note que não depende de , então a integral interna é simples.

Passo 6

Vamos calcular a integral interna em relação a integral0^2x e^x^2 d y = e^x^2 cdot y |0^2x = e^x^2 cdot 2x - e^x^2 cdot 0 = 2x e^x^2 :

Passo 7

Agora, substituímos isso na integral externa:
integral0^1 2x e^x^2 d x
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição simples.

Passo 8

Vamos fazer a substituição integral0^1 e^u du , então . Isso simplifica a integral para:

Passo 9

Calculando essa integral, temos:
integral0^1 e^u du = e^u |0^1 = e^1 - e^0 = e - 1

Resposta

O valor da integral é .

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