sendo a região que abrange os primeiro e quarto quadrantes, sendo delimitada pelas retas e .
Passo 1
Então, vamos resolver uma integral dupla usando mudança de variáveis. A gente vai transformar as variáveis e em e com as equações e . O objetivo é calcular a integral de sobre a região , que está nos primeiro e quarto quadrantes e é delimitada pelas retas , , e . Para isso, vamos precisar entender como fazer a mudança de variáveis e calcular o determinante jacobiano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a mudança de variáveis. Temos:
Isso significa que vamos expressar e em termos de e .
Passo 3
O próximo passo é calcular o jacobiano dessa transformação. O jacobiano nos ajuda a ajustar a área quando fazemos a mudança de variáveis. Ele é dado pela matriz das derivadas parciais:
Agora, vamos expressar a função que vamos integrar, x + y = (2u + 3v) + (2u - 3v) = 4u , em termos de integral duplaD (x + y) , dx , dy = integral duplaD' 4u cdot |J| , du , dv = integral duplaD' 4u cdot 12 , du , dv = integral duplaD' 48u , du , dv e :
Então, nossa integral dupla fica:
Passo 5
Agora precisamos transformar a região 0 <= u <= 54 em termos de - 56 <= v <= 56 e . As retas que delimitam são:
Vamos substituir e nessas equações para encontrar os limites de e :
Então, os limites para e são:
Passo 6
Agora, vamos escrever a integral com esses limites:
integral duplaD' 48u , du , dv = 48 integralu=0^54 integralv=-56^56 u , dv , du
Primeiro, integramos em relação a integralv=-56^56 u , dv = u [ v ]-56^56 = u ( 56 - (-56) ) = u ( 106 ) = 53 u :
48 integral0^54 53 u , du = 48 cdot 53 integral0^54 u , du = 80 integral0^54 u , du
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, integramos em relação a integral0^54 u , du = [ u^22 ]0^54 = (54)^22 - 0 = 25162 = 2532 :