Faça a mudança de variáveis x=2 u+3 v e y=2 u-3 v para calcular
integral duplaD^square(x+y) d x d y,
sendo D a região que abrange os primeiro e quarto quadrantes, sendo delimitada pelas retas y=x, y=-x, y=5-x e y=x-5.

Passo 1

Então, vamos resolver uma integral dupla usando mudança de variáveis. A gente vai transformar as variáveis e em e com as equações e . O objetivo é calcular a integral de sobre a região , que está nos primeiro e quarto quadrantes e é delimitada pelas retas , , e . Para isso, vamos precisar entender como fazer a mudança de variáveis e calcular o determinante jacobiano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a mudança de variáveis. Temos:
x = 2u + 3v
y = 2u - 3v
Isso significa que vamos expressar e em termos de e .

Passo 3

O próximo passo é calcular o jacobiano dessa transformação. O jacobiano nos ajuda a ajustar a área quando fazemos a mudança de variáveis. Ele é dado pela matriz das derivadas parciais:
J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v
Calculando as derivadas:
partial xpartial u = 2, partial xpartial v = 3
partial ypartial u = 2, partial ypartial v = -3
Então,
J = 2 & 3 2 & -3 = (2)(-3) - (3)(2) = -6 - 6 = -12
O valor absoluto do jacobiano é .

Passo 4

Agora, vamos expressar a função que vamos integrar, x + y = (2u + 3v) + (2u - 3v) = 4u , em termos de integral duplaD (x + y) , dx , dy = integral duplaD' 4u cdot |J| , du , dv = integral duplaD' 4u cdot 12 , du , dv = integral duplaD' 48u , du , dv e :
Então, nossa integral dupla fica:

Passo 5

Agora precisamos transformar a região 0 <= u <= 54 em termos de - 56 <= v <= 56 e . As retas que delimitam são:
Vamos substituir e nessas equações para encontrar os limites de e :
Então, os limites para e são:

Passo 6

Agora, vamos escrever a integral com esses limites:
integral duplaD' 48u , du , dv = 48 integralu=0^54 integralv=-56^56 u , dv , du
Primeiro, integramos em relação a integralv=-56^56 u , dv = u [ v ]-56^56 = u ( 56 - (-56) ) = u ( 106 ) = 53 u :
48 integral0^54 53 u , du = 48 cdot 53 integral0^54 u , du = 80 integral0^54 u , du
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, integramos em relação a integral0^54 u , du = [ u^22 ]0^54 = (54)^22 - 0 = 25162 = 2532 :
80 cdot 2532 = 200032 = 62.5
Multiplicando pelo 80:

Resposta

A integral dupla vale .

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