Faça a mudança de variáveis e para calcular
sendo a região que abrange os primeiro e quarto quadrantes, sendo delimitada pelas retas e .

Passo 1

Então, vamos resolver uma integral dupla usando mudança de variáveis. A gente vai transformar as variáveis e em e com as equações e . O objetivo é calcular a integral de sobre a região , que está nos primeiro e quarto quadrantes e é delimitada pelas retas , , e . Para isso, vamos precisar entender como fazer a mudança de variáveis e calcular o determinante jacobiano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a mudança de variáveis. Temos:
Isso significa que vamos expressar e em termos de e .

Passo 3

O próximo passo é calcular o jacobiano dessa transformação. O jacobiano nos ajuda a ajustar a área quando fazemos a mudança de variáveis. Ele é dado pela matriz das derivadas parciais:
Calculando as derivadas:
Então,
O valor absoluto do jacobiano é .

Passo 4

Agora, vamos expressar a função que vamos integrar, , em termos de e :
Então, nossa integral dupla fica:

Passo 5

Agora precisamos transformar a região em termos de e . As retas que delimitam são:
Vamos substituir e nessas equações para encontrar os limites de e :
Então, os limites para e são:

Passo 6

Agora, vamos escrever a integral com esses limites:
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, integramos em relação a :
Multiplicando pelo 80:

Resposta

A integral dupla vale .

Exercícios relacionados

Exercício 5. Usando o Teorema de Green calcule:
(a) é a curva fronteira de região determinada pelas curvas e , orientada no sentido horário.
Exercício 1. Calcule a integral de linha utilizando o Teorema de Green (considere as curvas com orientação positiva).
(b) é o triângulo de vértices e .
Inverta a ordem de integração em
Escreva em coordenadas polares a integral dupla
considerando a região do primeiro quadrante que não contém a origem, sendo definida pelas circunferências e pela reta .