sendo a região que abrange os primeiro e quarto quadrantes, sendo delimitada pelas retas e .
Passo 1
Então, vamos resolver uma integral dupla usando mudança de variáveis. A gente vai transformar as variáveis e em e com as equações e . O objetivo é calcular a integral de sobre a região , que está nos primeiro e quarto quadrantes e é delimitada pelas retas , , e . Para isso, vamos precisar entender como fazer a mudança de variáveis e calcular o determinante jacobiano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a mudança de variáveis. Temos:
Isso significa que vamos expressar e em termos de e .
Passo 3
O próximo passo é calcular o jacobiano dessa transformação. O jacobiano nos ajuda a ajustar a área quando fazemos a mudança de variáveis. Ele é dado pela matriz das derivadas parciais:
Calculando as derivadas:
Então,
O valor absoluto do jacobiano é .
Passo 4
Agora, vamos expressar a função que vamos integrar, , em termos de e :
Então, nossa integral dupla fica:
Passo 5
Agora precisamos transformar a região em termos de e . As retas que delimitam são:
Vamos substituir e nessas equações para encontrar os limites de e :
Então, os limites para e são:
Passo 6
Agora, vamos escrever a integral com esses limites: