Escreva as definições de
e
em termos da função exponencial e, usando as formas exponenciais demonstre que
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para escrever as funções cosseno e seno de
usando a função exponencial. Depois, usando essas formas exponenciais, precisamos demonstrar que
. Isso envolve conceitos de funções trigonométricas e exponenciais, e vamos precisar usar a definição de Euler para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como expressar o cosseno e o seno usando a função exponencial. Isso é baseado na fórmula de Euler, que relaciona funções trigonométricas com exponenciais complexas.
Passo 3
A definição do cosseno em termos da função exponencial é:
Aqui,
e
são exponenciais complexas, e a soma delas, dividida por 2, nos dá o cosseno de
.
Passo 4
Agora, vamos definir o seno de
usando a função exponencial:
Nesse caso, subtraímos as duas exponenciais e dividimos por
para obter o seno de
.
Passo 5
Com essas definições em mãos, vamos calcular
usando a forma exponencial. Substituímos
no lugar de
na definição do cosseno:
Passo 6
Agora, queremos relacionar
com
. Vamos calcular
e
usando as definições exponenciais que temos.
Primeiro, calculamos
:
Passo 7
Em seguida, calculamos
:
Simplificando, fica:
Passo 8
Agora, vamos subtrair
de
:
Passo 9
Fazendo a subtração, temos:
Simplificando mais:
Passo 10
Observamos que
é exatamente a definição que usamos para
. Portanto, mostramos que:
Resposta
Demonstramos que
usando as definições de cosseno e seno em termos da função exponencial.
Exercícios relacionados
Um número complexo,
, tem argumento
radianos. Usando a convenção do que
, determine o valor principal do argumento,
, em radianos.
Seja
(repare que estamos usando o valor principal do logaritmo). Determine
, escrevendo o resultado como um número racional.
Seja
, com
e
reais. Seja
. Encontre as partes real e imaginária de
em termos de
e
e, usando as equações de Cauchy-Riemann, demonstre que
é inteira (analítica em todo o plano complexo).
Determine o domínio das seguintes funções:
(a)
(a)