Escreva as definições de cos(z) e sen(z) em termos da função exponencial e, usando as formas exponenciais demonstre que
cos(2z) = cos^2(z) - sen^2(z)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para escrever as funções cosseno e seno de usando a função exponencial. Depois, usando essas formas exponenciais, precisamos demonstrar que . Isso envolve conceitos de funções trigonométricas e exponenciais, e vamos precisar usar a definição de Euler para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como expressar o cosseno e o seno usando a função exponencial. Isso é baseado na fórmula de Euler, que relaciona funções trigonométricas com exponenciais complexas.

Passo 3

A definição do cosseno em termos da função exponencial é:
Aqui, e são exponenciais complexas, e a soma delas, dividida por 2, nos dá o cosseno de .

Passo 4

Agora, vamos definir o seno de usando a função exponencial:
Nesse caso, subtraímos as duas exponenciais e dividimos por para obter o seno de .

Passo 5

Com essas definições em mãos, vamos calcular usando a forma exponencial. Substituímos no lugar de na definição do cosseno:

Passo 6

Agora, queremos relacionar com . Vamos calcular e usando as definições exponenciais que temos.
Primeiro, calculamos :

Passo 7

Em seguida, calculamos :
Simplificando, fica:

Passo 8

Agora, vamos subtrair de :

Passo 9

Fazendo a subtração, temos:
Simplificando mais:

Passo 10

Observamos que é exatamente a definição que usamos para . Portanto, mostramos que:

Resposta

Demonstramos que usando as definições de cosseno e seno em termos da função exponencial.

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