Um número complexo,
, tem argumento
radianos. Usando a convenção do que
, determine o valor principal do argumento,
, em radianos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um número complexo
que tem um argumento de
radianos. Nosso objetivo é encontrar o valor principal do argumento, que é aquele que está no intervalo
. Para resolver isso, vamos precisar entender como ajustar o argumento para esse intervalo usando conceitos de módulo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o argumento de um número complexo representa o ângulo que o número faz com o eixo positivo das abscissas no plano complexo. Porém, como esse ângulo pode dar várias voltas completas (cada volta tem
radianos), o valor principal do argumento é o ângulo equivalente que fica entre
e
radianos.
Passo 3
Para encontrar o valor principal, precisamos calcular o resto da divisão de
por
. Isso é equivalente a calcular
. Matemáticamente, isso pode ser expresso como:
onde
representa a função parte inteira.
Passo 4
Vamos calcular o valor:
Primeiro, aproximamos :
Primeiro, aproximamos
Agora, dividimos
por
:
A parte inteira dessa divisão é
.
Passo 5
Agora, multiplicamos
por
:
Subtraímos esse valor de
:
Resposta
O valor principal do argumento é aproximadamente
radianos.
Exercícios relacionados
Seja
(repare que estamos usando o valor principal do logaritmo). Determine
, escrevendo o resultado como um número racional.
Simplifique as expressões, escrevendo o resultado na forma cartesiana (retangular)
com
e
números racionais (racional inclui a possibilidade de ser inteiro!)
Escreva as definições de
e
em termos da função exponencial e, usando as formas exponenciais demonstre que
Seja
, com
e
reais. Seja
. Encontre as partes real e imaginária de
em termos de
e
e, usando as equações de Cauchy-Riemann, demonstre que
é inteira (analítica em todo o plano complexo).