Um número complexo, z, tem argumento theta = 2022 radianos. Usando a convenção do que Arg(z) ∈ [0, 2 pi), determine o valor principal do argumento, Arg(z), em radianos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um número complexo que tem um argumento de radianos. Nosso objetivo é encontrar o valor principal do argumento, que é aquele que está no intervalo . Para resolver isso, vamos precisar entender como ajustar o argumento para esse intervalo usando conceitos de módulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o argumento de um número complexo representa o ângulo que o número faz com o eixo positivo das abscissas no plano complexo. Porém, como esse ângulo pode dar várias voltas completas (cada volta tem radianos), o valor principal do argumento é o ângulo equivalente que fica entre e radianos.

Passo 3

Para encontrar o valor principal, precisamos calcular o resto da divisão de por . Isso é equivalente a calcular . Matemáticamente, isso pode ser expresso como:
onde representa a função parte inteira.

Passo 4

Vamos calcular o valor:
Primeiro, aproximamos :
Agora, dividimos por :
A parte inteira dessa divisão é .

Passo 5

Agora, multiplicamos por :
Subtraímos esse valor de :

Resposta

O valor principal do argumento é aproximadamente radianos.

Exercícios relacionados

Seja z = i Ln(2) (repare que estamos usando o valor principal do logaritmo). Determine cos(z), escrevendo o resultado como um número racional.
Simplifique as expressões, escrevendo o resultado na forma cartesiana (retangular) x + i y com x e y números racionais (racional inclui a possibilidade de ser inteiro!)
(2 + i) / (2 - i) i^(-2022) raiz(-8 - 6 i)
Escreva as definições de cos(z) e sen(z) em termos da função exponencial e, usando as formas exponenciais demonstre que
cos(2z) = cos^2(z) - sen^2(z)
Seja z = x + i y, com x e y reais. Seja f(z) = e^z. Encontre as partes real e imaginária de f em termos de x e y e, usando as equações de Cauchy-Riemann, demonstre que f(z) = e^z é inteira (analítica em todo o plano complexo).