Use o quociente a_{n+1}/a_{n} para verificar se a sequência dada é estritamente crescente ou estritamente decrescente.
{10^n / (2 n)!}_{n=1}^{+\infty}

Passo 1

Vamos verificar se a sequência está sempre aumentando ou sempre diminuindo. Para isso, vamos usar o quociente . Precisamos entender como calcular esse quociente e o que ele nos diz sobre o comportamento da sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o quociente :
Simplificando, temos:

Passo 3

Agora, vamos analisar o valor desse quociente. Note que é sempre maior que 10 para todo n ≥ 1. Isso porque, à medida que n aumenta, o denominador cresce rapidamente:
  • Para :
  • Para :
  • E assim por diante.
Como o denominador é sempre maior que 10, o quociente será sempre menor que 1.

Passo 4

Quando o quociente , isso significa que cada termo da sequência é menor que o termo anterior. Portanto, a sequência está diminuindo a cada passo.

Resposta

A sequência é estritamente decrescente para todo n ≥ 1.

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