Escreva a equação de cada uma das retas que passam pelo ponto
e são tangentes à circunferência de equação
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa achar as equações das retas que passam pelo ponto
e que tocam a circunferência dada pela equação
. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre circunferências e retas tangentes.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da circunferência na forma padrão. Isso vai nos ajudar a identificar o centro e o raio da circunferência. A forma padrão de uma circunferência é:
Onde
é o centro e
é o raio.
Passo 3
Vamos completar o quadrado para as variáveis
e
na equação da circunferência:
Para
:
Para
:
Substituindo de volta na equação:
Então, o centro da circunferência é
e o raio é
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as retas que passam por
e são tangentes à circunferência. Uma reta tangente a uma circunferência toca ela em exatamente um ponto. A condição para que uma reta
seja tangente à circunferência é que a distância entre o centro da circunferência e a reta seja igual ao raio.
A fórmula da distância de um ponto
a uma reta
é:
Como a reta passa por
, podemos escrever a equação da reta na forma:
Ou seja:
Rearranjando para a forma geral:
Passo 5
Aplicando a condição de tangência, a distância entre o centro
e a reta
deve ser igual ao raio
:
Simplificando o numerador:
Então:
Dividindo ambos os lados por 2:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
As equações das retas são: