Escreva a equação de cada uma das retas que passam pelo ponto P(2,3) e são tangentes à circunferência de equação x^2 + 4x + y^2 - 6y + 5 = 0. y - x - 1 = 0 ; y + x - 5 = 0

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa achar as equações das retas que passam pelo ponto e que tocam a circunferência dada pela equação . Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre circunferências e retas tangentes.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da circunferência na forma padrão. Isso vai nos ajudar a identificar o centro e o raio da circunferência. A forma padrão de uma circunferência é:
Onde é o centro e é o raio.

Passo 3

Vamos completar o quadrado para as variáveis e na equação da circunferência:
Para :
Para :
Substituindo de volta na equação:
Então, o centro da circunferência é e o raio é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as retas que passam por e são tangentes à circunferência. Uma reta tangente a uma circunferência toca ela em exatamente um ponto. A condição para que uma reta seja tangente à circunferência é que a distância entre o centro da circunferência e a reta seja igual ao raio.
A fórmula da distância de um ponto a uma reta é:
â
Como a reta passa por , podemos escrever a equação da reta na forma:
Ou seja:
Rearranjando para a forma geral:

Passo 5

Aplicando a condição de tangência, a distância entre o centro e a reta deve ser igual ao raio :
Simplificando o numerador:
Então:
Dividindo ambos os lados por 2:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

As equações das retas são:

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