Escreva a equação cartesiana da curva e faça um esboço indicando a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever a equação cartesiana da curva dada pelas funções paramétricas
e
, onde
. Vamos usar conceitos de funções paramétricas e como relacionar
e
sem depender de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são funções paramétricas. Elas definem
e
em termos de um terceiro parâmetro, aqui
. Para encontrar a equação cartesiana, precisamos eliminar o parâmetro
e relacionar diretamente
e
.
Passo 3
Sabemos que
. A função
é o inverso do seno, ou seja,
. Como
, podemos substituir:
Passo 4
Então, a equação cartesiana da curva é
. Essa é uma hipérbole que está definida no primeiro quadrante porque
, o que faz com que
e
sejam positivos.
Passo 5
Para entender a direção em que a curva é traçada conforme
aumenta, observamos que quando
vai de 0 para
:
- Quando
está próximo de 0, é pequeno, então é pequeno e é grande. - Conforme
aumenta, aumenta, fazendo crescer e diminuir.
Isso significa que a curva vai indo do ponto com
pequeno e
grande para
grande e
pequeno.
Resposta
A equação cartesiana da curva é
, e conforme o parâmetro
aumenta de 0 para
, a curva é traçada do ponto com
pequeno e
grande para
grande e
pequeno.
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.
Ache a expressão do vetor velocidade ;
Ache a expressão do vetor velocidade
Resolva as seguintes integrais trigonométricas:
67)
67)
Escreva a equação cartesiana da curva e faça um esboço indicando a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
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Dê uma parametrização da curva.
O círculo ;
O círculo