Escreva a equação cartesiana da curva e faça um esboço indicando a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever a equação cartesiana da curva dada pelas funções paramétricas e , onde . Vamos usar conceitos de funções paramétricas e como relacionar e sem depender de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são funções paramétricas. Elas definem e em termos de um terceiro parâmetro, aqui . Para encontrar a equação cartesiana, precisamos eliminar o parâmetro e relacionar diretamente e .

Passo 3

Sabemos que . A função é o inverso do seno, ou seja, . Como , podemos substituir:

Passo 4

Então, a equação cartesiana da curva é . Essa é uma hipérbole que está definida no primeiro quadrante porque , o que faz com que e sejam positivos.

Passo 5

Para entender a direção em que a curva é traçada conforme aumenta, observamos que quando vai de 0 para :
  • Quando está próximo de 0, é pequeno, então é pequeno e é grande.
  • Conforme aumenta, aumenta, fazendo crescer e diminuir.
Isso significa que a curva vai indo do ponto com pequeno e grande para grande e pequeno.

Resposta

A equação cartesiana da curva é , e conforme o parâmetro aumenta de 0 para , a curva é traçada do ponto com pequeno e grande para grande e pequeno.

Exercícios relacionados

Uma partícula se move ao longo de uma curva .
Ache a expressão do vetor velocidade ;
Resolva as seguintes integrais trigonométricas:
67)
Escreva a equação cartesiana da curva e faça um esboço indicando a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
;
Dê uma parametrização da curva.
O círculo ;