Resolva as seguintes integrais trigonométricas:
67) integral sen(3 x) cos (5 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral envolvendo funções trigonométricas, especificamente o seno e o cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas que nos ajudem a simplificar o produto dessas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma identidade trigonométrica que transforma o produto de seno e cosseno em uma soma. A identidade que vamos usar é:
Isso vai facilitar a integração, pois vamos trabalhar apenas com funções seno.

Passo 3

Aplicando essa identidade ao nosso caso, onde A = 3x e B = 5x, temos:
Lembrando que , então:

Passo 4

Agora, nossa integral fica:
Podemos separar essa integral em duas partes:

Passo 5

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Para , a integral é:
Onde integral sen(kx) , dx é a constante de integração.

Passo 6

Aplicando essa fórmula:
  1. Para :
integral sen(8x) , dx
  1. Para :
-cos(8x)8

Passo 7

Substituindo de volta na expressão original:
12 ( -cos(8x)8 + cos(2x)2 ) + C

Passo 8

Simplificando os coeficientes:
-cos(8x)16 + cos(2x)4 + C

Resposta

A integral de é:
sen(3x) cos(5x) , dx

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