Escreva a equação cartesiana da curva e faça um esboço indicando a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
;

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos as equações paramétricas e para o intervalo . Nosso objetivo aqui é transformar essas equações paramétricas em uma equação cartesiana, ou seja, uma relação direta entre e sem o parâmetro . Para isso, vamos usar um pouco de trigonometria básica e algumas manipulações algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significam as funções trigonométricas que estão nas equações. A função é o inverso do cosseno, então . Já a função é o seno dividido pelo cosseno, ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos usar a equação para expressar em termos de . Como , podemos reescrever isso como .

Passo 4

Com , podemos agora encontrar usando a identidade trigonométrica básica . Substituindo na identidade, temos:
Isso simplifica para:
Então, tirando a raiz quadrada dos dois lados:

Passo 5

Agora que temos em termos de , vamos substituí-lo na equação de :

Passo 6

Vamos simplificar a expressão acima:

Resposta

A equação cartesiana da curva é . Quando o parâmetro aumenta de para , a curva é traçada da esquerda para a direita.

Exercícios relacionados

Escreva a equação cartesiana da curva e faça um esboço indicando a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
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Uma partícula se move ao longo de uma curva .
Ache a expressão do vetor velocidade ;
Dê uma parametrização da curva.
O círculo ;
Seja a curva com equações paramétricas
Esboce a curva.