Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na questão: temos a série
. A proposta é descobrir se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas, especialmente o Teste da Raiz, que é útil quando temos termos elevados a uma potência de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Raiz. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série pela análise do limite da raiz enésima do termo geral. Basicamente, calculamos:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Raiz à nossa série. Aqui, o termo geral
é
. Vamos calcular a raiz enésima desse termo:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Sabemos que
tende ao infinito quando
tende ao infinito, então:
Passo 5
Agora, vamos interpretar o resultado. Como
, de acordo com o Teste da Raiz, a série
converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Determine o jacobiano da transformação.:
c)
c)
Nos problemas a seguir, verifique que a função
dada é solução explícita da equação diferencial dada. Admita um intervalo de solução apropriado.
d)
d)
Escreva a equação em coordenadas esféricas:
a)
b)
c)
a)
b)
c)