Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta.
sumn=2^infty 1(ln n)^n

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão: temos a série . A proposta é descobrir se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas, especialmente o Teste da Raiz, que é útil quando temos termos elevados a uma potência de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Raiz. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série pela análise do limite da raiz enésima do termo geral. Basicamente, calculamos:
L = limn to infty raiz[n]an
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Raiz à nossa série. Aqui, o termo geral raiz[n]an = raiz[n]1(ln n)^n = 1ln n é . Vamos calcular a raiz enésima desse termo:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o limite quando L = limn to infty 1ln n tende ao infinito:
L = limn to infty 1ln n = 0
Sabemos que tende ao infinito quando tende ao infinito, então:

Passo 5

Agora, vamos interpretar o resultado. Como , de acordo com o Teste da Raiz, a série converge.

Resposta

A série converge.

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