Escreva a equação da elipse em cada um dos casos abaixo:
(b) Focos e o comprimento do eixo maior igual a 6.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de geometria analítica sobre elipses. Precisamos encontrar a equação da elipse que tem dois focos em e , e cujo comprimento do eixo maior é igual a 6. Para isso, vamos usar as propriedades básicas das elipses e algumas fórmulas matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da elipse. O centro é o ponto meio entre os dois focos. Como os focos estão em e , o centro fica na média das coordenadas:
Então, o centro da elipse é a origem, .
Passo 3
Agora, vamos determinar qual é o eixo maior e o eixo menor. Como os focos estão alinhados verticalmente ao longo do eixo y, isso significa que o eixo maior é a vertical. O comprimento do eixo maior é dado como 6, o que nos permite encontrar o valor de , que é a distância do centro até cada ponta do eixo maior:
Passo 4
Precisamos encontrar a distância entre os focos, que é , onde é a distância do centro até cada foco. Dado que os focos são e , a distância entre eles é:
Passo 5
Com e conhecidos, podemos encontrar , que é a distância do centro até cada ponta do eixo menor. A relação entre , e em uma elipse é:
Substituindo os valores:
Passo 6
Finalmente, vamos escrever a equação da elipse. Como o eixo maior é vertical, a equação geral da elipse é: