Escreva a equação da elipse em cada um dos casos abaixo:
(b) Focos
e o comprimento do eixo maior igual a 6.
(b) Focos
Passo 1
Vamos resolver um exercício de geometria analítica sobre elipses. Precisamos encontrar a equação da elipse que tem dois focos em
e
, e cujo comprimento do eixo maior é igual a 6. Para isso, vamos usar as propriedades básicas das elipses e algumas fórmulas matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da elipse. O centro é o ponto meio entre os dois focos. Como os focos estão em
e
, o centro fica na média das coordenadas:
Então, o centro da elipse é a origem,
.
Passo 3
Agora, vamos determinar qual é o eixo maior e o eixo menor. Como os focos estão alinhados verticalmente ao longo do eixo y, isso significa que o eixo maior é a vertical. O comprimento do eixo maior é dado como 6, o que nos permite encontrar o valor de
, que é a distância do centro até cada ponta do eixo maior:
Passo 4
Precisamos encontrar a distância entre os focos, que é
, onde
é a distância do centro até cada foco. Dado que os focos são
e
, a distância entre eles é:
Passo 5
Com
e
conhecidos, podemos encontrar
, que é a distância do centro até cada ponta do eixo menor. A relação entre
,
e
em uma elipse é:
Substituindo os valores:
Passo 6
Finalmente, vamos escrever a equação da elipse. Como o eixo maior é vertical, a equação geral da elipse é:
Substituindo
e
:
Resposta
A equação da elipse é: