Use o método de eliminação de Gauss para resolver os seguintes sistemas lineares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss. Nosso objetivo é encontrar os valores de x - y + z = 1 2x + y - z = 0 3x - 2y - z = 2 , e que satisfazem todas as três equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos manipular as equações de forma a eliminar uma variável de cada vez, facilitando assim a resolução passo a passo.
As equações que temos são:
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as operações que vamos realizar. A matriz aumentada fica assim:
Aqui, as primeiras três colunas representam os coeficientes de , e , e a última coluna são os resultados das equações.
Passo 3
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular, onde temos zeros abaixo da diagonal principal. Vamos começar eliminando o R2 = R2 - 2R1 das linhas 2 e 3.
Para fazer isso, vamos multiplicar a primeira linha por 2 e subtrair da segunda linha:
Agora, focamos na segunda coluna. Queremos eliminar o R2 = 13R2 da terceira linha. Para isso, vamos manipular as linhas 2 e 3. Podemos multiplicar a segunda linha por 1 & -1 & 1 & | & 1 0 & 1 & -1 & | & -23 0 & 1 & -4 & | & -1 para facilitar:
Passo 6
Agora, subtraímos a segunda linha da terceira linha para eliminar o R3 = R3 - R2 da terceira equação:
Agora, temos uma matriz triangular. Vamos resolver de baixo para cima. Começamos pela terceira linha:
-3z = -13 Rightarrow z = 19
Passo 8
Com o valor de y - z = -23 y - 19 = -23 y = -23 + 19 y = -69 + 19 y = -59 encontrado, substituímos na segunda linha para encontrar :
Passo 9
Finalmente, substituímos os valores de x - y + z = 1 x - (-59) + 19 = 1 x + 59 + 19 = 1 x + 69 = 1 x + 23 = 1 x = 1 - 23 x = 13 e na primeira linha para encontrar :