Use o método de eliminação de Gauss para resolver os seguintes sistemas lineares.
(e) x-y+z & =1 2 x+y-z & =0 3 x-2 y-z & =2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss. Nosso objetivo é encontrar os valores de x - y + z = 1 2x + y - z = 0 3x - 2y - z = 2 , e que satisfazem todas as três equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos manipular as equações de forma a eliminar uma variável de cada vez, facilitando assim a resolução passo a passo.
As equações que temos são:

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as operações que vamos realizar. A matriz aumentada fica assim:
1 & -1 & 1 & | & 1 2 & 1 & -1 & | & 0 3 & -2 & -1 & | & 2
Aqui, as primeiras três colunas representam os coeficientes de , e , e a última coluna são os resultados das equações.

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular, onde temos zeros abaixo da diagonal principal. Vamos começar eliminando o R2 = R2 - 2R1 das linhas 2 e 3.
Para fazer isso, vamos multiplicar a primeira linha por 2 e subtrair da segunda linha:
1 & -1 & 1 & | & 1 0 & 3 & -3 & | & -2 3 & -2 & -1 & | & 2

Passo 4

Agora, vamos eliminar o R3 = R3 - 3R1 da terceira linha. Para isso, multiplicamos a primeira linha por 3 e subtraímos da terceira linha:
1 & -1 & 1 & | & 1 0 & 3 & -3 & | & -2 0 & 1 & -4 & | & -1

Passo 5

Agora, focamos na segunda coluna. Queremos eliminar o R2 = 13R2 da terceira linha. Para isso, vamos manipular as linhas 2 e 3. Podemos multiplicar a segunda linha por 1 & -1 & 1 & | & 1 0 & 1 & -1 & | & -23 0 & 1 & -4 & | & -1 para facilitar:

Passo 6

Agora, subtraímos a segunda linha da terceira linha para eliminar o R3 = R3 - R2 da terceira equação:
1 & -1 & 1 & | & 1 0 & 1 & -1 & | & -23 0 & 0 & -3 & | & -13

Passo 7

Agora, temos uma matriz triangular. Vamos resolver de baixo para cima. Começamos pela terceira linha:
-3z = -13 Rightarrow z = 19

Passo 8

Com o valor de y - z = -23 y - 19 = -23 y = -23 + 19 y = -69 + 19 y = -59 encontrado, substituímos na segunda linha para encontrar :

Passo 9

Finalmente, substituímos os valores de x - y + z = 1 x - (-59) + 19 = 1 x + 59 + 19 = 1 x + 69 = 1 x + 23 = 1 x = 1 - 23 x = 13 e na primeira linha para encontrar :

Resposta

A solução do sistema é:
x = 13, y = -59, z = 19

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