Use o método de eliminação de Gauss para resolver os seguintes sistemas lineares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss. Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que satisfazem todas as três equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos manipular as equações de forma a eliminar uma variável de cada vez, facilitando assim a resolução passo a passo.
As equações que temos são:
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as operações que vamos realizar. A matriz aumentada fica assim:
Aqui, as primeiras três colunas representam os coeficientes de , e , e a última coluna são os resultados das equações.
Passo 3
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular, onde temos zeros abaixo da diagonal principal. Vamos começar eliminando o das linhas 2 e 3.
Para fazer isso, vamos multiplicar a primeira linha por 2 e subtrair da segunda linha:
Passo 4
Agora, vamos eliminar o da terceira linha. Para isso, multiplicamos a primeira linha por 3 e subtraímos da terceira linha:
Passo 5
Agora, focamos na segunda coluna. Queremos eliminar o da terceira linha. Para isso, vamos manipular as linhas 2 e 3. Podemos multiplicar a segunda linha por para facilitar:
Passo 6
Agora, subtraímos a segunda linha da terceira linha para eliminar o da terceira equação:
Passo 7
Agora, temos uma matriz triangular. Vamos resolver de baixo para cima. Começamos pela terceira linha:
Passo 8
Com o valor de encontrado, substituímos na segunda linha para encontrar :
Passo 9
Finalmente, substituímos os valores de e na primeira linha para encontrar :