Plote o gráfico das seguintes funções:
f(x, y)=x^2-8 x+6 y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a função . Nosso objetivo é plotar o gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar entender um pouco de geometria analítica, principalmente sobre superfícies no espaço tridimensional. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para identificar que tipo de superfície ela representa. Vem comigo: para isso, vamos completar o quadrado em relação a f(x, y) = x^2 - 8x + 6y^2 .
A função é:
x^2 - 8x = (x^2 - 8x + 16) - 16 = (x - 4)^2 - 16
Para completar o quadrado nos termos de f(x, y) = (x - 4)^2 - 16 + 6y^2 , pegamos os coeficientes:
f(x, y) = (x - 4)^2 + 6y^2 - 16
Então, a função fica:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a identificação da superfície:
f(x, y) = (x - 4)^2 + 6y^2 = z + 16
Rearranjando para expressar z = (x - 4)^2 + 6y^2 - 16 :

Passo 4

Observando a equação , percebemos que é uma equação quadrática em e . Essa forma representa um paraboloide elíptico, que é uma superfície em forma de tigela que se abre para cima ou para baixo.

Passo 5

Para plotar o gráfico, vamos identificar alguns pontos chave:
  • Vértice: O ponto onde a superfície atinge o mínimo. Aqui, o vértice está em porque são os valores que anulam as partes quadráticas.
  • Eixo de Simetria: A superfície é simétrica em relação ao plano e ao eixo .
  • Abertura: Como os coeficientes dos termos quadráticos são positivos, o paraboloide se abre para cima.

Passo 6

Com essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  1. Marque o vértice em .
  2. Desenhe as curvas de nível, que serão elipses, para diferentes valores de .
  3. Observe que à medida que aumenta, as elipses ficam maiores.
  4. Conecte essas curvas para formar a superfície do paraboloide elíptico.

Resposta

O gráfico da função é um paraboloide elíptico que se abre para cima, com vértice no ponto . Ele é simétrico em relação ao plano e ao eixo .

Exercícios relacionados

Mostrar que um operador F in L(V) é idempotente se, e somente se, I-F é idempotente.
Seja P uma parábola de diretriz d: x+y-4=0 e foco F(10,6)
(b) Usando argumentos geométricos, determine a equação da reta tangente a parábola P no ponto T(16,48).
Plote o gráfico das seguintes funções:
f(x, y)=1-raizx^2+2 y^2
Escreva a equação da elipse com centro na origem e tal que passa por A=(5,2) e B=(2,4) e tem reta focal o eixo O x.