Plote o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a função
. Nosso objetivo é plotar o gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar entender um pouco de geometria analítica, principalmente sobre superfícies no espaço tridimensional. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para identificar que tipo de superfície ela representa. Vem comigo: para isso, vamos completar o quadrado em relação a
.
A função é:
Para completar o quadrado nos termos de
, pegamos os coeficientes:
Então, a função fica:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a identificação da superfície:
Rearranjando para expressar
:
Passo 4
Observando a equação
, percebemos que é uma equação quadrática em
e
. Essa forma representa um paraboloide elíptico, que é uma superfície em forma de tigela que se abre para cima ou para baixo.
Passo 5
Para plotar o gráfico, vamos identificar alguns pontos chave:
- Vértice: O ponto onde a superfície atinge o mínimo. Aqui, o vértice está em
porque são os valores que anulam as partes quadráticas. - Eixo de Simetria: A superfície é simétrica em relação ao plano
e ao eixo . - Abertura: Como os coeficientes dos termos quadráticos são positivos, o paraboloide se abre para cima.
Passo 6
Com essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Marque o vértice em
. - Desenhe as curvas de nível, que serão elipses, para diferentes valores de
. - Observe que à medida que
aumenta, as elipses ficam maiores. - Conecte essas curvas para formar a superfície do paraboloide elíptico.
Resposta
O gráfico da função
é um paraboloide elíptico que se abre para cima, com vértice no ponto
. Ele é simétrico em relação ao plano
e ao eixo
.
Exercícios relacionados
Mostrar que um operador
é idempotente se, e somente se,
é idempotente.
Seja
uma parábola de diretriz
e foco
(b) Usando argumentos geométricos, determine a equação da reta tangente a parábola no ponto
.
(b) Usando argumentos geométricos, determine a equação da reta tangente a parábola
Plote o gráfico das seguintes funções:
Escreva a equação da elipse com centro na origem e tal que passa por
e
e tem reta focal o eixo
.