Plote o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente plotar o gráfico da função
. Isso envolve trabalhar com funções de duas variáveis, ou seja, gráficos em 3D. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar funções de duas variáveis no espaço tridimensional e analisar como os valores de
e
influenciam o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Aqui, para cada par de valores
, a função nos dá um valor
. A parte
lembra a fórmula da distância, mas com um peso diferente para o
. Isso significa que o gráfico vai se estender de forma diferente ao longo dos eixos
e
.
Passo 3
Vamos descobrir onde a função está definida. A raiz quadrada
exige que
, o que é sempre verdade para qualquer
e
. Então, o domínio da função é todo o plano
.
Passo 4
Agora, vamos ver como a função se comporta. Quando
e
, temos
. À medida que
ou
aumentam, a raiz quadrada aumenta, fazendo com que
diminua. Isso indica que o gráfico vai descer conforme nos afastamos da origem.
Passo 5
Para facilitar a visualização, vamos considerar algumas “fatias” do gráfico mantendo
constante. Se fixarmos um valor de
, a equação fica:
Essa é a equação de uma elipse no plano
para cada valor de
. Isso nos mostra que, para diferentes alturas
, temos diferentes elipses.
Passo 6
Com essas elipses, podemos imaginar que o gráfico da função forma uma espécie de cúpula centralizada na origem, que se afunila para baixo conforme nos distanciamos. A presença do termo
faz com que a cúpula seja mais esticada ao longo do eixo
do que do
.
Resposta
O gráfico da função
é uma superfície em formato de cúpula centralizada na origem, que atinge o ponto mais alto em
quando
e
. Conforme nos afastamos da origem, a cúpula desce de forma elíptica, mais alongada no eixo
devido ao coeficiente 2, formando uma superfície arredondada que se inclina para baixo à medida que
e
aumentam.
Exercícios relacionados
Plote o gráfico das seguintes funções:
Mostrar que um operador
é idempotente se, e somente se,
é idempotente.
Escreva a equação da elipse com centro na origem e tal que passa por
e
e tem reta focal o eixo
.
Plote o gráfico das seguintes funções: