Plote o gráfico das seguintes funções:
f(x, y)=1-raizx^2+2 y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente plotar o gráfico da função . Isso envolve trabalhar com funções de duas variáveis, ou seja, gráficos em 3D. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar funções de duas variáveis no espaço tridimensional e analisar como os valores de e influenciam o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Aqui, para cada par de valores , a função nos dá um valor . A parte lembra a fórmula da distância, mas com um peso diferente para o . Isso significa que o gráfico vai se estender de forma diferente ao longo dos eixos e .

Passo 3

Vamos descobrir onde a função está definida. A raiz quadrada exige que , o que é sempre verdade para qualquer e . Então, o domínio da função é todo o plano .

Passo 4

Agora, vamos ver como a função se comporta. Quando e , temos . À medida que ou aumentam, a raiz quadrada aumenta, fazendo com que diminua. Isso indica que o gráfico vai descer conforme nos afastamos da origem.

Passo 5

Para facilitar a visualização, vamos considerar algumas “fatias” do gráfico mantendo 1 - z = raizx^2 + 2 y^2 implies x^2 + 2 y^2 = (1 - z)^2 constante. Se fixarmos um valor de , a equação fica:
Essa é a equação de uma elipse no plano para cada valor de . Isso nos mostra que, para diferentes alturas , temos diferentes elipses.

Passo 6

Com essas elipses, podemos imaginar que o gráfico da função forma uma espécie de cúpula centralizada na origem, que se afunila para baixo conforme nos distanciamos. A presença do termo faz com que a cúpula seja mais esticada ao longo do eixo do que do .

Resposta

O gráfico da função é uma superfície em formato de cúpula centralizada na origem, que atinge o ponto mais alto em quando e . Conforme nos afastamos da origem, a cúpula desce de forma elíptica, mais alongada no eixo devido ao coeficiente 2, formando uma superfície arredondada que se inclina para baixo à medida que e aumentam.

Exercícios relacionados

Plote o gráfico das seguintes funções:
f(x, y)=x^2-8 x+6 y^2
Mostrar que um operador F in L(V) é idempotente se, e somente se, I-F é idempotente.
Escreva a equação da elipse com centro na origem e tal que passa por A=(5,2) e B=(2,4) e tem reta focal o eixo O x.
Plote o gráfico das seguintes funções:
f(x, y)=-5 x-9 y+45