Escreva a equação geral da elipse com centro no ponto C(3, 2), semi-eixo vertical igual a 3 e semi-eixo horizontal igual a 4.
opções:
a- 3x(elevado a 2) +4y(elevado a 2) - 54x-64y+1=0
b- 9x(elevado a 2) +16y(elevado a 2) + 54x+64y+1=0
c- 3x(elevado a 2) -4y(elevado a 2) - 12x-16y+1=0
d- 9x(elevado a 2) +16y(elevado a 2) - 54x-64y+1=0
opções:
a- 3x(elevado a 2) +4y(elevado a 2) - 54x-64y+1=0
b- 9x(elevado a 2) +16y(elevado a 2) + 54x+64y+1=0
c- 3x(elevado a 2) -4y(elevado a 2) - 12x-16y+1=0
d- 9x(elevado a 2) +16y(elevado a 2) - 54x-64y+1=0
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente escrever a equação geral de uma elipse. A gente já sabe que a elipse tem um centro no ponto C(3, 2), um semi-eixo vertical de tamanho 3 e um semi-eixo horizontal de tamanho 4. Para isso, vamos usar a fórmula da elipse e substituir os valores que temos.
Passo 2
Vamos lembrar qual é a fórmula padrão da elipse. Quando o centro da elipse está no ponto (h, k), a equação fica assim:
Aqui, $ a $ é o comprimento do semi-eixo horizontal e $ b $ é o comprimento do semi-eixo vertical.
Passo 3
Agora, vamos identificar os valores que a gente tem:
- Centro da elipse: $ h = 3 $ e $ k = 2 $
- Semi-eixo horizontal: $ a = 4 $
- Semi-eixo vertical: $ b = 3 $
Vamos substituir esses valores na fórmula:
Isso fica:
Passo 4
Agora, para chegar na equação geral, precisamos expandir essa expressão. Primeiro, vamos multiplicar tudo por 144 (que é o mínimo múltiplo comum de 16 e 9) para eliminar os denominadores:
Isso simplifica para:
Vamos expandir os quadrados:
Distribuindo os números:
Agora, somamos os termos constantes:
Subtraindo 144 de ambos os lados:
Passo 5
Comparando com as opções que a gente tem:
a- $ 3x^2 +4y^2 - 54x-64y+1=0 $
b- $ 9x^2 +16y^2 + 54x+64y+1=0 $
c- $ 3x^2 -4y^2 - 12x-16y+1=0 $
d- $ 9x^2 +16y^2 -54x-64y+1=0 $
A equação que a gente encontrou é igual à opção d.
Resposta
A resposta correta é a letra d: $ 9x^2 +16y^2 -54x-64y+1=0 $.