Verificar se a matriz é inversível e, em caso afirmativo, determinar sua inversa:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma matriz de ordem 3 e precisamos verificar se ela é inversível. Se for, vamos encontrar a sua inversa. Isso está no campo da álgebra linear, especificamente sobre matrizes e determinantes. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e, se for diferente de zero, usar métodos para encontrar a inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz det(B) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) . O determinante nos ajuda a saber se a matriz tem inversa. Se o determinante for zero, a matriz não é inversível. Para matrizes 3x3, usamos a seguinte fórmula:
B = a & b & c d & e & f g & h & i = 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 0 & 2 & 1
Onde os elementos da matriz são:
Passo 3
Vamos identificar os valores:
det(B) = 1(1 times 1 - 0 times 2) - 0(1 times 1 - 0 times 0) + 1(1 times 2 - 1 times 0)
Agora, substituindo na fórmula:
Passo 4
Vamos calcular cada parte:
1(1 - 0) = 1 times 1 = 1
-0(1 - 0) = 0
1(2 - 0) = 1 times 2 = 2
Somando tudo:
1 + 0 + 2 = 3
Passo 5
Como o determinante é diferente de zero, a matriz é inversível. Agora, vamos calcular a inversa de .
Passo 6
Para encontrar a inversa de uma matriz 3x3, usamos a fórmula:
B^-1 = 1det(B) times Adj(B)
Onde é a matriz adjunta de . Primeiro, vamos encontrar a matriz dos cofatores.
Passo 7
Calculamos cada cofator 1 & 0 2 & 1 removendo a i-ésima linha e j-ésima coluna e calculando o determinante da matriz resultante, multiplicando por 1 & 0 0 & 1.
Vamos calcular os cofatores:
1 & 1 0 & 2
0 & 1 2 & 1
1 & 1 0 & 1
1 & 0 0 & 2
0 & 1 1 & 0
1 & 1 1 & 0
1 & 0 1 & 1
Passo 8
Agora, organizamos os cofatores em uma matriz:
Cof(B) = 1 & -1 & 2 2 & 1 & -2 -1 & 1 & 1
A matriz adjunta Adj(B) = 1 & 2 & -1 -1 & 1 & 1 2 & -2 & 1 é a transposta da matriz de cofatores: