Verificar quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais do
:
a.
;
b.
e
;
c.
.
a.
b.
c.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar quais dos três conjuntos são subespaços vetoriais de
. Para isso, precisamos saber o que é um subespaço vetorial. Basicamente, um subespaço deve satisfazer três propriedades: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar. Vamos analisar cada conjunto seguindo esses critérios.
Passo 2
Conjunto a:
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero
está em
. Como
, o vetor zero pertence a
.
Agora, vamos ver se
é fechado sob adição. Se pegarmos dois vetores em
, por exemplo,
e
, a soma deles será
, que também pertence a
.
Por fim, para multiplicação por escalar, se pegarmos um vetor
em
e multiplicarmos por um escalar
, obtemos
, que ainda satisfaz
. Portanto,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Conclusão para a):
é um subespaço vetorial de
.
Passo 3
Conjunto b:
Vamos começar verificando se o vetor zero está em
. O vetor zero é
. Para pertencer a
, ele deve satisfazer
, mas aqui
, então o vetor zero não está em
.
Como o subespaço deve conter o vetor zero, já podemos concluir que
não é um subespaço vetorial. Não precisamos verificar as outras propriedades.
Conclusão para b):
não é um subespaço vetorial de
.
Passo 4
Conjunto c:
Primeiro, verificamos se o vetor zero pertence a
. O vetor zero é
. Aqui,
e
. Para estar em
, precisaríamos que
e
, o que não é o caso. Assim, o vetor zero não está em
.
Além disso,
não é fechado sob adição nem sob multiplicação por escalar. Por exemplo, se pegarmos dois vetores em
, a soma deles pode não satisfazer
e
. Também, multiplicar um vetor por um escalar negativo inverte os sinais de
e
, quebrando as condições.
Conclusão para c):
não é um subespaço vetorial de
.
Resposta
Apenas o conjunto a) é um subespaço vetorial de
.