Verificar quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais do :
a. ;
b. e ;
c. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar quais dos três conjuntos são subespaços vetoriais de . Para isso, precisamos saber o que é um subespaço vetorial. Basicamente, um subespaço deve satisfazer três propriedades: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar. Vamos analisar cada conjunto seguindo esses critérios.
Passo 2
Conjunto a:
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em . Como , o vetor zero pertence a .
Agora, vamos ver se é fechado sob adição. Se pegarmos dois vetores em , por exemplo, e , a soma deles será , que também pertence a .
Por fim, para multiplicação por escalar, se pegarmos um vetor em e multiplicarmos por um escalar , obtemos , que ainda satisfaz . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.
Conclusão para a): é um subespaço vetorial de .
Passo 3
Conjunto b:
Vamos começar verificando se o vetor zero está em . O vetor zero é . Para pertencer a , ele deve satisfazer , mas aqui , então o vetor zero não está em .
Como o subespaço deve conter o vetor zero, já podemos concluir que não é um subespaço vetorial. Não precisamos verificar as outras propriedades.
Conclusão para b): não é um subespaço vetorial de .
Passo 4
Conjunto c:
Primeiro, verificamos se o vetor zero pertence a . O vetor zero é . Aqui, e . Para estar em , precisaríamos que e , o que não é o caso. Assim, o vetor zero não está em .
Além disso, não é fechado sob adição nem sob multiplicação por escalar. Por exemplo, se pegarmos dois vetores em , a soma deles pode não satisfazer e . Também, multiplicar um vetor por um escalar negativo inverte os sinais de e , quebrando as condições.
Conclusão para c): não é um subespaço vetorial de .