Escreva a equação da hipérbole em cada um dos casos abaixo:
(a) Focos F1=(-3,0), F2=(3,0) e a=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre hipérbole! A gente tem os focos da hipérbole: e , e o valor de . Nosso objetivo é escrever a equação dessa hipérbole.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar o centro da hipérbole. Como os focos estão em e , o centro fica no ponto médio entre eles. A média de e é , então o centro é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre o centro e cada foco, que chamamos de . Como os focos estão a 3 unidades de distância do centro, temos .

Passo 4

Sabemos que para uma hipérbole, a relação entre c^2 = a^2 + b^2 , 3^2 = 2^2 + b^2 9 = 4 + b^2 b^2 = 9 - 4 b^2 = 5 e é dada por:
Nós já temos e . Vamos substituir esses valores na fórmula para encontrar :

Passo 5

Com x^2a^2 - y^2b^2 = 1 e x^24 - y^25 = 1 definidos, e sabendo que a hipérbole está alinhada com o eixo (porque os focos estão no eixo ), a equação padrão da hipérbole é:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A equação da hipérbole é:
x^24 - y^25 = 1

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