Seja uma parábola com foco
e diretriz
. Demonstre a equação reduzida da parábola.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre parábolas! A gente tem uma parábola com o foco em
e a diretriz
. Nosso objetivo aqui é demonstrar qual é a equação reduzida dessa parábola. Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de geometria das parábolas e a fórmula da distância entre pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma parábola. Uma parábola é o conjunto de todos os pontos que estão a uma mesma distância do foco e da diretriz. Ou seja, para qualquer ponto
na parábola, a distância até o foco
deve ser igual à distância até a diretriz
.
Passo 3
Vamos calcular a distância entre um ponto genérico
e o foco
. Essa distância pode ser calculada usando a fórmula da distância entre dois pontos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a distância do ponto
até a diretriz
. Como a diretriz é uma reta vertical, a distância é simplesmente a diferença absoluta entre a coordenada
do ponto e a posição da diretriz:
Passo 5
De acordo com a definição da parábola, essas duas distâncias devem ser iguais. Então, igualamos as duas expressões que obtivemos:
Passo 6
Para simplificar essa equação, vamos primeiro eliminar a raiz quadrada. Para isso, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Passo 7
Agora, vamos expandir os termos ao quadrado:
Vamos simplificar a equação subtraindo
de ambos os lados:
Agora, somamos
em ambos os lados para isolar
:
Resposta
A equação reduzida da parábola é: