Seja uma parábola com foco F=(p, 0) e diretriz r: x=-p. Demonstre a equação reduzida da parábola.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre parábolas! A gente tem uma parábola com o foco em e a diretriz . Nosso objetivo aqui é demonstrar qual é a equação reduzida dessa parábola. Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de geometria das parábolas e a fórmula da distância entre pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma parábola. Uma parábola é o conjunto de todos os pontos que estão a uma mesma distância do foco e da diretriz. Ou seja, para qualquer ponto na parábola, a distância até o foco deve ser igual à distância até a diretriz .

Passo 3

Vamos calcular a distância entre um ponto genérico Distância até o foco = raiz(x - p)^2 + (y - 0)^2 = raiz(x - p)^2 + y^2 e o foco . Essa distância pode ser calculada usando a fórmula da distância entre dois pontos:
âé

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância do ponto Distância até a diretriz = |x - (-p)| = |x + p| até a diretriz . Como a diretriz é uma reta vertical, a distância é simplesmente a diferença absoluta entre a coordenada do ponto e a posição da diretriz:
âé

Passo 5

De acordo com a definição da parábola, essas duas distâncias devem ser iguais. Então, igualamos as duas expressões que obtivemos:
raiz(x - p)^2 + y^2 = |x + p|

Passo 6

Para simplificar essa equação, vamos primeiro eliminar a raiz quadrada. Para isso, elevamos ambos os lados ao quadrado:
(raiz(x - p)^2 + y^2)^2 = (|x + p|)^2
(x - p)^2 + y^2 = (x + p)^2

Passo 7

Agora, vamos expandir os termos ao quadrado:
x^2 - 2px + p^2 + y^2 = x^2 + 2px + p^2
Vamos simplificar a equação subtraindo -2px + y^2 = 2px de ambos os lados:
y^2 = 4px
Agora, somamos em ambos os lados para isolar :

Resposta

A equação reduzida da parábola é:
y^2 = 4p,x

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