Seja W=(x, y, z) in R^3 / x-2 y+4 z=0 um subespaço vetorial do R^3 em relação as operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Obtenha uma base v1, v2, v3 do R^3, tal que v1 e v2 pertençam a W.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um subespaço vetorial de definido pela equação . O conteúdo que vamos usar aqui é de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços, bases e vetores. Precisamos encontrar uma base para composta por três vetores , onde os dois primeiros vetores e pertencem a .

Passo 2

Vamos começar encontrando vetores que estão em x - 2(1) + 4(0) = 0 implies x - 2 = 0 implies x = 2 . Para isso, precisamos que os vetores satisfazem a equação . Podemos escolher valores para duas das variáveis e resolver para a terceira.
Por exemplo, vamos escolher e :
Então, um vetor em é .

Passo 3

Vamos encontrar outro vetor em x - 2(0) + 4(1) = 0 implies x + 4 = 0 implies x = -4 . Escolhemos outro conjunto de valores para e . Vamos tentar e :
Então, outro vetor em é .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar um terceiro vetor 0 - 2(0) + 4(1) = 4 neq 0 que complete a base para . Esse vetor não pode estar em , ou seja, não pode satisfazer a equação . Podemos escolher qualquer vetor que não satisfaça essa equação. Por exemplo, vamos escolher .
Verificando:
Então, não está em .

Passo 5

Agora, precisamos garantir que os vetores 2 & -4 & 0 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 , 2 cdot (0 cdot 1 - 0 cdot 1) - (-4) cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 0) + 0 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 0) = 2(0) + 4(1) + 0 = 4 neq 0 e são linearmente independentes, ou seja, nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. Para isso, montamos uma matriz com esses vetores e verificamos se o determinante é diferente de zero.
Matriz:
Calculando o determinante:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

A base v1 = (2, 1, 0), v2 = (-4, 0, 1), v3 = (0, 0, 1) para onde e pertencem a é:

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