Seja um subespaço vetorial do em relação as operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Obtenha uma base do , tal que e pertençam a .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um subespaço vetorial de definido pela equação . O conteúdo que vamos usar aqui é de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços, bases e vetores. Precisamos encontrar uma base para composta por três vetores , onde os dois primeiros vetores e pertencem a .
Passo 2
Vamos começar encontrando vetores que estão em . Para isso, precisamos que os vetores satisfazem a equação . Podemos escolher valores para duas das variáveis e resolver para a terceira.
Por exemplo, vamos escolher e :
Então, um vetor em é .
Passo 3
Vamos encontrar outro vetor em . Escolhemos outro conjunto de valores para e . Vamos tentar e :
Então, outro vetor em é .
Passo 4
Agora, precisamos encontrar um terceiro vetor que complete a base para . Esse vetor não pode estar em , ou seja, não pode satisfazer a equação . Podemos escolher qualquer vetor que não satisfaça essa equação. Por exemplo, vamos escolher .
Verificando:
Então, não está em .
Passo 5
Agora, precisamos garantir que os vetores , e são linearmente independentes, ou seja, nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. Para isso, montamos uma matriz com esses vetores e verificamos se o determinante é diferente de zero.
Matriz:
Calculando o determinante:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Resposta
A base v1 = (2, 1, 0), v2 = (-4, 0, 1), v3 = (0, 0, 1) para onde e pertencem a é: