Seja uma hipérbole tal que F1=(-c, 0) e F2=(c, 0). Demonstre a equação reduzida da hipérbole.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma hipérbole com dois focos nas posições F1=(-c, 0) e F2=(c, 0). Nosso objetivo é mostrar qual é a equação reduzida dessa hipérbole. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre as definições de hipérbole, focos, e como relacionar essas informações para chegar na equação padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma hipérbole. Uma hipérbole é o conjunto de pontos onde a diferença das distâncias para dois pontos fixos, chamados de focos, é constante. No nosso caso, os focos estão nas posições F1=(-c, 0) e F2=(c, 0) no eixo x.

Passo 3

Vamos chamar essa constante de diferença de 2a, onde a é a distância do centro da hipérbole aos vértices. O centro da hipérbole está na origem (0,0) porque os focos são simétricos em relação à origem.

Passo 4

Sabemos que a relação entre a, b e c em uma hipérbole é dada por c^2 = a^2 + b^2. Isso vem da definição da hipérbole, onde b representa a distância relacionada à “altura” da hipérbole.

Passo 5

Agora, vamos montar a equação geral da hipérbole com eixo transversal no eixo x. A equação é:
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
Essa é a equação padrão da hipérbole que abre para os lados, que é o nosso caso.

Passo 6

Como já sabemos que c^2 = a^2 + b^2, podemos substituir b^2 por c^2 - a^2 na equação da hipérbole:
x^2a^2 - y^2c^2 - a^2 = 1
Mas essa substituição não é necessária para a forma reduzida, então vamos manter a equação padrão.

Resposta

A equação reduzida da hipérbole é:
x^2a^2 - y^2b^2 = 1

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