Seja uma hipérbole tal que
e
. Demonstre a equação reduzida da hipérbole.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma hipérbole com dois focos nas posições
e
. Nosso objetivo é mostrar qual é a equação reduzida dessa hipérbole. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre as definições de hipérbole, focos, e como relacionar essas informações para chegar na equação padrão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma hipérbole. Uma hipérbole é o conjunto de pontos onde a diferença das distâncias para dois pontos fixos, chamados de focos, é constante. No nosso caso, os focos estão nas posições
e
no eixo x.
Passo 3
Vamos chamar essa constante de diferença de
, onde
é a distância do centro da hipérbole aos vértices. O centro da hipérbole está na origem
porque os focos são simétricos em relação à origem.
Passo 4
Sabemos que a relação entre
,
e
em uma hipérbole é dada por
. Isso vem da definição da hipérbole, onde
representa a distância relacionada à “altura” da hipérbole.
Passo 5
Agora, vamos montar a equação geral da hipérbole com eixo transversal no eixo x. A equação é:
Essa é a equação padrão da hipérbole que abre para os lados, que é o nosso caso.
Passo 6
Como já sabemos que
, podemos substituir
por
na equação da hipérbole:
Mas essa substituição não é necessária para a forma reduzida, então vamos manter a equação padrão.
Resposta
A equação reduzida da hipérbole é: