Para e , vetores, , mostre que

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar os conceitos que vamos usar. Temos três vetores , e , e coeficientes escalares . A tarefa é mostrar que o produto externo (ou wedge) de duas combinações lineares desses vetores pode ser expressado como uma combinação linear de produtos externos entre pares desses vetores, com os coeficientes sendo determinantes de matrizes 2x2. Vamos precisar conhecer as propriedades do produto externo e como expandi-lo.

Passo 2

Vamos começar expandindo o produto externo . Lembre-se que o produto externo é distributivo, o que significa que podemos multiplicar cada termo da primeira combinação por cada termo da segunda combinação.

Passo 3

Aplicando a distributividade, temos:

Passo 4

Sabemos que o produto externo de um vetor com ele mesmo é zero, ou seja, . Além disso, o produto externo é anticomutativo, o que significa que e , etc.

Passo 5

Aplicando essas propriedades, eliminamos os termos que se tornam zero e reorganizamos os demais:

Passo 6

Agora, agrupamos os coeficientes que estão multiplicando cada produto externo:

Passo 7

Observamos que os coeficientes , e são exatamente os determinantes das matrizes 2x2 formadas pelos pares de coeficientes:

Resposta

Portanto, mostramos que

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Resolva os sistemas:
(1)
(2)
Escreva a equação do plano determinado pelas retas .
Escreva as equações paramétricas da reta , interseção dos planos: e .
Para e , vetores, , mostre que .