Escreva a equação reduzida da hipérbole, dados os focos ( pm 5,0), e as assíntotas 2 y= pm x

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão nos dá e o que precisamos descobrir. Temos os focos da hipérbole em (pm 5, 0) e as assíntotas dadas por 2y = pm x. Vamos usar esses dados para encontrar a equação reduzida da hipérbole. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades das hipérboles, como a relação entre seus elementos (focos, assíntotas, eixos) e as fórmulas que descrevem sua equação.

Passo 2

Sabemos que, para uma hipérbole com eixo real no eixo x, a equação padrão é:
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
Onde:
  • a é a distância do centro aos vértices;
  • b está relacionado à inclinação das assíntotas;
  • c é a distância do centro aos focos, e está ligada a a e b pela relação c^2 = a^2 + b^2.

Passo 3

As assíntotas da hipérbole são dadas por:
y = pm bax
No nosso caso, as assíntotas são 2y = pm x, que podemos reescrever como:
y = pm 12x
Comparando com a fórmula geral, temos:
ba = 12 Rightarrow b = a2

Passo 4

Agora, vamos usar a informação dos focos para encontrar a e b. Sabemos que os focos estão em (pm c, 0), e aqui c = 5. A relação entre a, b e c é:
c^2 = a^2 + b^2
Substituindo b = a2:
5^2 = a^2 + (a2)^2 25 = a^2 + a^24 25 = 5a^24 a^2 = 25 times 45 a^2 = 20

Passo 5

Com a^2 = 20, podemos encontrar b^2:
b = a2 Rightarrow b^2 = (a2)^2 = a^24 = 204 = 5

Resposta

A equação reduzida da hipérbole é:
x^220 - y^25 = 1

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