Escreva a equação reduzida da hipérbole, dados os focos , e as assíntotas
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão nos dá e o que precisamos descobrir. Temos os focos da hipérbole em e as assíntotas dadas por . Vamos usar esses dados para encontrar a equação reduzida da hipérbole. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades das hipérboles, como a relação entre seus elementos (focos, assíntotas, eixos) e as fórmulas que descrevem sua equação.
Passo 2
Sabemos que, para uma hipérbole com eixo real no eixo x, a equação padrão é:
Onde:
é a distância do centro aos vértices;
está relacionado à inclinação das assíntotas;
é a distância do centro aos focos, e está ligada a e pela relação .
Passo 3
As assíntotas da hipérbole são dadas por:
No nosso caso, as assíntotas são , que podemos reescrever como:
Comparando com a fórmula geral, temos:
Passo 4
Agora, vamos usar a informação dos focos para encontrar e . Sabemos que os focos estão em , e aqui . A relação entre , e é: