Escreva a equação reduzida da hipérbole, dados os focos
, e as assíntotas
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão nos dá e o que precisamos descobrir. Temos os focos da hipérbole em
e as assíntotas dadas por
. Vamos usar esses dados para encontrar a equação reduzida da hipérbole. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades das hipérboles, como a relação entre seus elementos (focos, assíntotas, eixos) e as fórmulas que descrevem sua equação.
Passo 2
Sabemos que, para uma hipérbole com eixo real no eixo x, a equação padrão é:
Onde:
-
é a distância do centro aos vértices; -
está relacionado à inclinação das assíntotas; -
é a distância do centro aos focos, e está ligada a e pela relação .
Passo 3
As assíntotas da hipérbole são dadas por:
No nosso caso, as assíntotas são
, que podemos reescrever como:
Comparando com a fórmula geral, temos:
Passo 4
Agora, vamos usar a informação dos focos para encontrar
e
. Sabemos que os focos estão em
, e aqui
. A relação entre
,
e
é:
Substituindo
:
Passo 5
Com
, podemos encontrar
:
Resposta
A equação reduzida da hipérbole é: