Escreva a equação da reta tangente à curva alpha, dada por alpha(t) = (2t^2 + 1, t - 1, 3t^3), onde alpha(t0) é o ponto de interseção do traço da curva com o plano x O z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto onde essa curva intercepta o plano . Isso envolve conceitos de geometria analítica e cálculo, especificamente derivadas para achar a reta tangente. Precisaremos identificar o valor de t onde a curva cruza o plano e depois usar a derivada da curva para encontrar a direção da tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir em que ponto a curva alpha(t) intercepta o plano . O plano é definido onde a coordenada . Então, vamos igualar a segunda componente de alpha(t) a zero:
Portanto, é o parâmetro onde a curva cruza o plano .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as coordenadas desse ponto na curva substituindo em alpha(t):
Então, o ponto de interseção é .

Passo 4

Para achar a reta tangente, precisamos da derivada da curva alpha(t), que nos dá o vetor direção da tangente. Calculando a derivada:
Substituindo :
Então, o vetor direção da reta tangente é .

Passo 5

Com o ponto e o vetor direção , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente:
Onde s é um parâmetro real.

Resposta

A equação da reta tangente é dada por:

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