Escreva a equação da reta tangente à curva , dada por , onde é o ponto de interseção do traço da curva com o plano .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto onde essa curva intercepta o plano . Isso envolve conceitos de geometria analítica e cálculo, especificamente derivadas para achar a reta tangente. Precisaremos identificar o valor de onde a curva cruza o plano e depois usar a derivada da curva para encontrar a direção da tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir em que ponto a curva intercepta o plano . O plano é definido onde a coordenada . Então, vamos igualar a segunda componente de a zero:
Portanto, é o parâmetro onde a curva cruza o plano .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as coordenadas desse ponto na curva substituindo em :
Então, o ponto de interseção é .

Passo 4

Para achar a reta tangente, precisamos da derivada da curva , que nos dá o vetor direção da tangente. Calculando a derivada:
Substituindo :
Então, o vetor direção da reta tangente é .

Passo 5

Com o ponto e o vetor direção , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente:
Onde é um parâmetro real.

Resposta

A equação da reta tangente é dada por:

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Seja , dada por
Reparametrize pelo comprimento de arco;
Seja uma função diferenciável, onde e, além disso, o traço de , está contida no gráfico de . Determine a equação da reta tangente a no ponto .