Escreva a equação da reta tangente à curva , dada por , onde é o ponto de interseção do traço da curva com o plano .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto onde essa curva intercepta o plano . Isso envolve conceitos de geometria analítica e cálculo, especificamente derivadas para achar a reta tangente. Precisaremos identificar o valor de onde a curva cruza o plano e depois usar a derivada da curva para encontrar a direção da tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir em que ponto a curva intercepta o plano . O plano é definido onde a coordenada . Então, vamos igualar a segunda componente de a zero:
Portanto, é o parâmetro onde a curva cruza o plano .
Passo 3
Agora, vamos encontrar as coordenadas desse ponto na curva substituindo em :
Então, o ponto de interseção é .
Passo 4
Para achar a reta tangente, precisamos da derivada da curva , que nos dá o vetor direção da tangente. Calculando a derivada:
Substituindo :
Então, o vetor direção da reta tangente é .
Passo 5
Com o ponto e o vetor direção , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente: