Mostre que a curva com equação vetorial
encontra-se em um plano. Além disso, encontre uma equação desse plano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos pede para mostrar que uma curva definida pela equação vetorial
está contida em um plano. Além disso, precisamos encontrar a equação desse plano. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e álgebra vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma curva estar em um plano. Uma curva está em um plano se todos os seus pontos satisfazem uma mesma equação linear da forma
onde , , e são constantes.

Passo 3

Agora, vamos considerar a equação vetorial da curva:
Isso significa que para cada valor de , temos um ponto na curva, onde:

Passo 4

Para mostrar que esses pontos estão em um plano, precisamos encontrar uma relação linear entre , e que seja válida para todos os . Ou seja, encontrar constantes , , e tais que:
Substituindo , e pelas expressões em termos de , teremos:

Passo 5

Vamos organizar essa equação em termos de :
Para que essa igualdade valha para todo , os coeficientes de , e o termo constante devem ser iguais a zero:

Passo 6

Temos um sistema de equações lineares para determinar , , e . Para resolver esse sistema, podemos escolher valores específicos para simplificar. Por exemplo, podemos definir e resolver para e com base nas primeiras duas equações:
Resolvendo esse sistema para e , obtemos os valores que satisfazem as duas primeiras equações.

Passo 7

Depois de encontrar , e , podemos substituir esses valores na terceira equação para encontrar :

Passo 8

Com , , e encontrados, temos a equação do plano:
Essa é a equação do plano em que a curva está contida.

Resposta

A curva definida pela equação vetorial está contida no plano dado por
onde , , e são constantes determinadas pelas condições mencionadas nos passos anteriores.

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