Seja
, dada por
Reparametrize
pelo comprimento de arco;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma curva parametrizada por
para
. A tarefa é reparametrizar essa curva pelo comprimento de arco. Isso significa que queremos reescrever a curva de modo que o parâmetro seja justamente a distância percorrida ao longo da curva, conhecida como comprimento de arco.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos:
- Derivada da curva: Nos dá a velocidade com que estamos nos movendo ao longo da curva.
- Velocidade (norma da derivada): É essencial para calcular o comprimento de arco.
- Comprimento de arco: A distância total percorrida ao longo da curva desde o ponto inicial até um ponto qualquer.
Vamos seguir passo a passo para chegar na reparametrização pelo comprimento de arco.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da curva
em relação a
. A derivada nos dá a velocidade do movimento na curva.
Dada:
Calculando a derivada de cada componente:
Passo 3
Agora, vamos calcular a norma da derivada, que representa a velocidade ao longo da curva. A velocidade é dada por:
Então, a velocidade é constante e igual a 5.
Passo 4
Com a velocidade constante, o próximo passo é calcular o comprimento de arco
desde
até um tempo
qualquer. O comprimento de arco é dado pela integral da velocidade em relação ao tempo:
Como
, temos:
Portanto, o comprimento de arco é uma função linear de
:
Passo 5
Agora, para reparametrizar a curva pelo comprimento de arco, queremos expressar
em função de
. A partir da relação anterior:
Substituindo
por
na expressão original de
, temos a reparametrização
:
Resposta
A reparametrização da curva
pelo comprimento de arco é:
Exercícios relacionados
Escreva a equação da reta tangente à curva
, dada por
, onde
é o ponto de interseção do traço da curva com o plano
.
Mostre que a curva com equação vetorial
encontra-se em um plano. Além disso, encontre uma equação desse plano.
Seja
uma função diferenciável, onde
e, além disso, o traço de
, está contida no gráfico de
. Determine a equação da reta tangente a
no ponto
.
Verifique se o limite de cada item existe. Caso exista, determine-o.
;