Seja , dada por
Reparametrize pelo comprimento de arco;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma curva parametrizada por para . A tarefa é reparametrizar essa curva pelo comprimento de arco. Isso significa que queremos reescrever a curva de modo que o parâmetro seja justamente a distância percorrida ao longo da curva, conhecida como comprimento de arco.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos:
  • Derivada da curva: Nos dá a velocidade com que estamos nos movendo ao longo da curva.
  • Velocidade (norma da derivada): É essencial para calcular o comprimento de arco.
  • Comprimento de arco: A distância total percorrida ao longo da curva desde o ponto inicial até um ponto qualquer.
Vamos seguir passo a passo para chegar na reparametrização pelo comprimento de arco.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da curva em relação a . A derivada nos dá a velocidade do movimento na curva.
Dada:
Calculando a derivada de cada componente:

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma da derivada, que representa a velocidade ao longo da curva. A velocidade é dada por:
Então, a velocidade é constante e igual a 5.

Passo 4

Com a velocidade constante, o próximo passo é calcular o comprimento de arco desde até um tempo qualquer. O comprimento de arco é dado pela integral da velocidade em relação ao tempo:
Como , temos:
Portanto, o comprimento de arco é uma função linear de :

Passo 5

Agora, para reparametrizar a curva pelo comprimento de arco, queremos expressar em função de . A partir da relação anterior:
Substituindo por na expressão original de , temos a reparametrização :

Resposta

A reparametrização da curva pelo comprimento de arco é:

Exercícios relacionados

Escreva a equação da reta tangente à curva , dada por , onde é o ponto de interseção do traço da curva com o plano .
Mostre que a curva com equação vetorial
encontra-se em um plano. Além disso, encontre uma equação desse plano.
Seja uma função diferenciável, onde e, além disso, o traço de , está contida no gráfico de . Determine a equação da reta tangente a no ponto .
Verifique se o limite de cada item existe. Caso exista, determine-o.
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