Seja uma função diferenciável, onde e, além disso, o traço de , está contida no gráfico de . Determine a equação da reta tangente a no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que tá sendo pedido aqui. A gente tem uma função diferenciável com algumas informações específicas: , e . Além disso, temos uma curva que está contida no gráfico de . Nosso objetivo é encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto .
Pra resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e tangentes a curvas no espaço. Vamos passo a passo para não complicar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o ponto . Substituindo na expressão de :
Sabemos que , já que está no gráfico de , então:
Portanto, .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da curva , que vai nos dar o vetor tangente. Vamos derivar cada componente de em relação a :
Derivando:
Para derivar , usamos a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, vamos calcular :
Substituindo os valores dados:
Então, o vetor tangente é .
Passo 5
Com o ponto e o vetor tangente , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente usando o parâmetro :
Essa é a forma paramétrica da reta tangente à curva no ponto .
Resposta
A equação paramétrica da reta tangente a no ponto é: