Seja f uma função diferenciável, onde f(1,2)=-2, fx(1,2)=3, fy(1,2)=4 e, além disso, o traço de α, α(t) = (t^2, 3t - 1, α3(t)), t ∈ R, está contida no gráfico de f. Determine a equação da reta tangente a alpha no ponto alpha(1).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que tá sendo pedido aqui. A gente tem uma função diferenciável com algumas informações específicas: , e . Além disso, temos uma curva que está contida no gráfico de . Nosso objetivo é encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto .
Pra resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e tangentes a curvas no espaço. Vamos passo a passo para não complicar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o ponto . Substituindo na expressão de :
Sabemos que , já que está no gráfico de , então:
Portanto, .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da curva , que vai nos dar o vetor tangente. Vamos derivar cada componente de em relação a :
Derivando:
Para derivar , usamos a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Substituindo os valores dados:
Então, o vetor tangente é .

Passo 5

Com o ponto e o vetor tangente , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente usando o parâmetro :
Essa é a forma paramétrica da reta tangente à curva no ponto .

Resposta

A equação paramétrica da reta tangente a no ponto é:
Onde é o parâmetro real.

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