Uma partícula de massa m se move sobre uma superfície z = f(x, y). Sejam x = x(t) e y = y(t) as coordenadas da partícula no instante t.
Sejam z = x^2 + y^2, x(t) = t cos(t) e y = t sen t. Determine o vetor velocidade v, a energia cinética k e o vetor aceleração a.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar o vetor velocidade , a energia cinética e o vetor aceleração de uma partícula que se move sobre uma superfície definida por . Aqui, a superfície é , e as coordenadas da partícula em função do tempo são e .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, derivadas para encontrar as velocidades e acelerações, e a fórmula da energia cinética. Não se preocupe, vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor posição da partícula. Como conhecemos , e , podemos escrever:
Simplificando :
Então,

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor velocidade . O vetor velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo:
Calculando cada componente:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
Portanto,

Passo 4

Vamos calcular agora a energia cinética . A energia cinética de uma partícula é dada por:
Onde é a norma (magnitude) do vetor velocidade. Primeiro, vamos encontrar :
Vamos expandir os termos:
Somando os dois:
Adicionando :
Portanto, a energia cinética é:

Passo 5

Por último, vamos encontrar o vetor aceleração . A aceleração é a derivada do vetor velocidade em relação ao tempo:
Calculando cada componente:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
Portanto,

Resposta

O vetor velocidade da partícula é:
A energia cinética é:
E o vetor aceleração é:

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