Uma partícula de massa
se move sobre uma superfície
. Sejam
e
as coordenadas da partícula no instante
.
Sejam
e
sen
. Determine o vetor velocidade
, a energia cinética
e o vetor aceleração
.
Sejam
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar o vetor velocidade
, a energia cinética
e o vetor aceleração
de uma partícula que se move sobre uma superfície definida por
. Aqui, a superfície é
, e as coordenadas da partícula em função do tempo são
e
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, derivadas para encontrar as velocidades e acelerações, e a fórmula da energia cinética. Não se preocupe, vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor posição
da partícula. Como conhecemos
,
e
, podemos escrever:
Simplificando
:
Então,
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor velocidade
. O vetor velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo:
Calculando cada componente:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Portanto,
Passo 4
Vamos calcular agora a energia cinética
. A energia cinética de uma partícula é dada por:
Onde
é a norma (magnitude) do vetor velocidade. Primeiro, vamos encontrar
:
Vamos expandir os termos:
Somando os dois:
Adicionando
:
Portanto, a energia cinética é:
Passo 5
Por último, vamos encontrar o vetor aceleração
. A aceleração é a derivada do vetor velocidade em relação ao tempo:
Calculando cada componente:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Portanto,
Resposta
O vetor velocidade da partícula é:
A energia cinética é:
E o vetor aceleração é:
Exercícios relacionados
Seja
uma curva, definida por
.
Esboce o traço da curva .
Esboce o traço da curva
Seja
uma curva, definida por
Calcule a curvatura de
em
.
Mostre que a curva com equação vetorial
encontra-se em um plano. Além disso, encontre uma equação desse plano.
Escreva a equação da reta tangente à curva
, dada por
, onde
é o ponto de interseção do traço da curva com o plano
.