Escreva a equação da reta tangente à curva no ponto . d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que escrever a equação da reta tangente à curva definida por no ponto . Isso está relacionado ao estudo de **geometria analítica**, mais especificamente sobre **retas tangentes a curvas**. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a derivada implícita para encontrar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a reta tangente em um ponto específico de uma curva tem a mesma inclinação da curva naquele ponto. Para encontrar essa inclinação, precisamos calcular a derivada da curva em relação a . Vamos derivar implicitamente: Derivando cada termo:

Passo 3

Agora, queremos isolar , que representa a inclinação da reta tangente: Dividindo ambos os lados por : Então, a inclinação da reta tangente no ponto é:

Passo 4

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a **forma ponto-inclinação** da equação da reta, que é: Substituindo pela expressão que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar essa equação para deixá-la mais elegante. Multiplicando ambos os lados por : Distribuindo os termos: Rearranjando para a forma padrão da reta:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

Exercícios relacionados

Verifique a convergência ou divergência das seguintes sequências: .
Calcule, caso exista. f)
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Dadas as equações e , determine a derivada indicada. c)