Escreva a equação da reta tangente à curva no ponto .
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que escrever a equação da reta tangente à curva definida por no ponto . Isso está relacionado ao estudo de **geometria analítica**, mais especificamente sobre **retas tangentes a curvas**. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a derivada implícita para encontrar a inclinação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a reta tangente em um ponto específico de uma curva tem a mesma inclinação da curva naquele ponto. Para encontrar essa inclinação, precisamos calcular a derivada da curva em relação a .
Vamos derivar implicitamente:
Derivando cada termo:
Passo 3
Agora, queremos isolar , que representa a inclinação da reta tangente:
Dividindo ambos os lados por :
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é:
Passo 4
Com a inclinação e o ponto , podemos usar a **forma ponto-inclinação** da equação da reta, que é:
Substituindo pela expressão que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação para deixá-la mais elegante. Multiplicando ambos os lados por :
Distribuindo os termos:
Rearranjando para a forma padrão da reta:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto é:
Exercícios relacionados
Verifique a convergência ou divergência das seguintes sequências: .
Calcule, caso exista.
f)
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Dadas as equações e , determine a derivada indicada.
c)