Escreva a equação da reta tangente as curvas no ponto especificado. Esboce o gráfico de e da reta tangente.
no ponto

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever a equação da reta tangente à curva no ponto onde . A gente vai precisar usar conceitos de derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente e, depois, montar a equação dessa reta. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto na curva onde . Para isso, substituímos na função :
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos achar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Vamos derivar:

Passo 4

Com a derivada em mãos, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto :
Portanto, a inclinação da reta tangente é 27.

Passo 5

Agora que temos o ponto de tangência e a inclinação , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar a equação para deixá-la mais clara:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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Mostre que não existe a derivada de em . Calcule a derivada para .
Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton:
derivada de no ponto
Encontre as derivadas das seguintes funções:
Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton:
derivada de no ponto