Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton:
derivada de
no ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função
no ponto
usando a definição de derivada, que é o limite do quociente de Newton. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial. Para isso, vamos precisar aplicar a fórmula da derivada pelo limite e simplificar algumas expressões.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a fórmula da derivada no ponto
usando o limite do quociente de Newton:
Passo 3
Agora, vamos substituir a função
na fórmula:
Sabemos que
, então podemos simplificar:
Passo 4
Para resolver esse limite, vamos racionalizar o numerador. Multiplicamos o numerador e o denominador pela expressão conjugada, que no caso de raízes cúbicas é um pouco diferente, mas funciona da seguinte forma:
Multiplicamos por
:
Isso simplifica o numerador usando a identidade
:
Simplificando mais:
Cancelamos o
no numerador e denominador:
Passo 5
Agora, como
está tendendo a 0,
tende a
. Então, substituímos na expressão:
Resposta
A derivada da função
no ponto
é
.
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Escreva a equação da reta tangente as curvas
no ponto especificado. Esboce o gráfico de
e da reta tangente.
no ponto
Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton:
derivada de
no ponto
Mostre que não existe a derivada de
em
. Calcule a derivada para
.
Escreva a equação da reta tangente as curvas
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no ponto