Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton:
derivada de no ponto

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função no ponto usando a definição de derivada, que é o limite do quociente de Newton. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial. Para isso, vamos precisar aplicar a fórmula da derivada pelo limite e simplificar algumas expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fórmula da derivada no ponto usando o limite do quociente de Newton:

Passo 3

Agora, vamos substituir a função na fórmula:
Sabemos que , então podemos simplificar:

Passo 4

Para resolver esse limite, vamos racionalizar o numerador. Multiplicamos o numerador e o denominador pela expressão conjugada, que no caso de raízes cúbicas é um pouco diferente, mas funciona da seguinte forma:
Multiplicamos por :
Isso simplifica o numerador usando a identidade :
Simplificando mais:
Cancelamos o no numerador e denominador:

Passo 5

Agora, como está tendendo a 0, tende a . Então, substituímos na expressão:

Resposta

A derivada da função no ponto é .

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Escreva a equação da reta tangente as curvas no ponto especificado. Esboce o gráfico de e da reta tangente.
no ponto
Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton:
derivada de no ponto
Mostre que não existe a derivada de em . Calcule a derivada para .
Escreva a equação da reta tangente as curvas no ponto especificado. Esboce o gráfico de e da reta tangente.
no ponto