Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton:
f^prime(a)=lim h 0 f(a+h)-f(a)h
derivada de f(x)=raiz[3]x no ponto a=8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função no ponto usando a definição de derivada, que é o limite do quociente de Newton. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial. Para isso, vamos precisar aplicar a fórmula da derivada pelo limite e simplificar algumas expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fórmula da derivada no ponto f^prime(8) = limh 0 f(8 + h) - f(8)h usando o limite do quociente de Newton:

Passo 3

Agora, vamos substituir a função f^prime(8) = limh 0 raiz[3]8 + h - raiz[3]8h na fórmula:
f^prime(8) = limh 0 raiz[3]8 + h - 2h
Sabemos que , então podemos simplificar:

Passo 4

Para resolver esse limite, vamos racionalizar o numerador. Multiplicamos o numerador e o denominador pela expressão conjugada, que no caso de raízes cúbicas é um pouco diferente, mas funciona da seguinte forma:
Multiplicamos por f^prime(8) = limh 0 raiz[3]8 + h - 2h cdot (raiz[3]8 + h)^2 + 2raiz[3]8 + h + 4(raiz[3]8 + h)^2 + 2raiz[3]8 + h + 4 :
f^prime(8) = limh 0 (8 + h) - 8h ( (raiz[3]8 + h)^2 + 2raiz[3]8 + h + 4 )
Isso simplifica o numerador usando a identidade f^prime(8) = limh 0 hh ( (raiz[3]8 + h)^2 + 2raiz[3]8 + h + 4 ) :
f^prime(8) = limh 0 1 (raiz[3]8 + h)^2 + 2raiz[3]8 + h + 4
Simplificando mais:
Cancelamos o no numerador e denominador:

Passo 5

Agora, como f^prime(8) = 12^2 + 2 cdot 2 + 4 = 14 + 4 + 4 = 112 está tendendo a 0, tende a . Então, substituímos na expressão:

Resposta

A derivada da função no ponto é .

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