Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton:
f^prime(a)=lim h 0 f(a+h)-f(a)h
derivada de f(x)=x^2+1 no ponto a=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo que pede para encontrar a derivada da função no ponto . Vamos usar a definição de derivada conhecida como limite do quociente de Newton. Para isso, precisamos entender como aplicar essa definição para encontrar a derivada nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do limite do quociente de Newton para encontrar a derivada de uma função f^prime(a) = lim h 0 f(a+h) - f(a)h no ponto :
Isso significa que vamos substituir e na fórmula e calcular o limite quando se aproxima de zero.

Passo 3

Vamos substituir f(a+h) = (a + h)^2 + 1 na fórmula. Primeiro, calculamos :
Explicando, significa que vamos elevar ao quadrado.

Passo 4

Agora, substituímos f(1+h) = (1 + h)^2 + 1 na expressão:
(1 + h)^2 = 1 + 2h + h^2
Vamos expandir esse quadrado:
f(1+h) = 1 + 2h + h^2 + 1 = 2 + 2h + h^2
Então,

Passo 5

Agora, calculamos f(1+h) - f(1) = (2 + 2h + h^2) - (1^2 + 1) = 2 + 2h + h^2 - 2 = 2h + h^2 :

Passo 6

Substituímos isso na fórmula do limite:
f^prime(1) = lim h 0 2h + h^2h
Podemos simplificar dividindo cada termo por 2h + h^2h = 2 + h :

Passo 7

Agora, calculamos o limite quando f^prime(1) = lim h 0 (2 + h) = 2 + 0 = 2 se aproxima de zero:

Resposta

A derivada de no ponto é .

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