Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton:
derivada de no ponto

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo que pede para encontrar a derivada da função no ponto . Vamos usar a definição de derivada conhecida como limite do quociente de Newton. Para isso, precisamos entender como aplicar essa definição para encontrar a derivada nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do limite do quociente de Newton para encontrar a derivada de uma função no ponto :
Isso significa que vamos substituir e na fórmula e calcular o limite quando se aproxima de zero.

Passo 3

Vamos substituir na fórmula. Primeiro, calculamos :
Explicando, significa que vamos elevar ao quadrado.

Passo 4

Agora, substituímos na expressão:
Vamos expandir esse quadrado:
Então,

Passo 5

Agora, calculamos :

Passo 6

Substituímos isso na fórmula do limite:
Podemos simplificar dividindo cada termo por :

Passo 7

Agora, calculamos o limite quando se aproxima de zero:

Resposta

A derivada de no ponto é .

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Encontre as derivadas das seguintes funções:
Escreva a equação da reta tangente as curvas no ponto especificado. Esboce o gráfico de e da reta tangente.
no ponto
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no ponto
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no ponto