Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton:
derivada de
no ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo que pede para encontrar a derivada da função
no ponto
. Vamos usar a definição de derivada conhecida como limite do quociente de Newton. Para isso, precisamos entender como aplicar essa definição para encontrar a derivada nesse ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do limite do quociente de Newton para encontrar a derivada de uma função
no ponto
:
Isso significa que vamos substituir
e
na fórmula e calcular o limite quando
se aproxima de zero.
Passo 3
Vamos substituir
na fórmula. Primeiro, calculamos
:
Explicando,
significa que vamos elevar
ao quadrado.
Passo 4
Agora, substituímos
na expressão:
Vamos expandir esse quadrado:
Então,
Passo 5
Agora, calculamos
:
Passo 6
Substituímos isso na fórmula do limite:
Podemos simplificar dividindo cada termo por
:
Passo 7
Agora, calculamos o limite quando
se aproxima de zero:
Resposta
A derivada de
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Encontre as derivadas das seguintes funções:
Escreva a equação da reta tangente as curvas
no ponto especificado. Esboce o gráfico de
e da reta tangente.
no ponto
Escreva a equação da reta tangente as curvas
no ponto especificado. Esboce o gráfico de
e da reta tangente.
no ponto
Escreva a equação da reta tangente as curvas
no ponto especificado. Esboce o gráfico de
e da reta tangente.
no ponto