Mostre que não existe a derivada de em . Calcule a derivada para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício sobre derivadas! A questão quer que a gente mostre que a derivada da função não existe em e também calcular a derivada para . Para isso, vamos usar os conceitos de derivada e entender o que acontece com a inclinação da função nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente a essa função nesse ponto. Em outras palavras, ela nos diz como a função está mudando naquele instante.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada para . A função pode ser escrita de forma diferente dependendo do valor de :
  • Se , então .
  • Se , então .

Passo 4

Vamos derivar cada caso separadamente:
  1. Para :
    A derivada de é .
  2. Para :
    A derivada de é .

Passo 5

Então, temos que para , a derivada de é:

Passo 6

Agora, vamos analisar o que acontece em . Para a derivada existir nesse ponto, o limite da derivada pela direita deve ser igual ao limite pela esquerda.
  • Limite pela direita ( ):
  • Limite pela esquerda ( ):

Passo 7

Como , os limites não são iguais. Isso significa que a derivada não existe em .

Resposta

A derivada de não existe em . Para , a derivada é:

Exercícios relacionados

Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton:
derivada de no ponto
Escreva a equação da reta tangente as curvas no ponto especificado. Esboce o gráfico de e da reta tangente.
no ponto
Escreva a equação da reta tangente as curvas no ponto especificado. Esboce o gráfico de e da reta tangente.
no ponto
Encontre as derivadas das seguintes funções: