Mostre que não existe a derivada de
em
. Calcule a derivada para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício sobre derivadas! A questão quer que a gente mostre que a derivada da função
não existe em
e também calcular a derivada para
. Para isso, vamos usar os conceitos de derivada e entender o que acontece com a inclinação da função nesse ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente a essa função nesse ponto. Em outras palavras, ela nos diz como a função está mudando naquele instante.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada para
. A função
pode ser escrita de forma diferente dependendo do valor de
:
- Se
, então . - Se
, então .
Passo 4
Vamos derivar cada caso separadamente:
-
Para
: A derivada deé . -
Para
: A derivada deé .
Passo 5
Então, temos que para
, a derivada de
é:
Passo 6
Agora, vamos analisar o que acontece em
. Para a derivada existir nesse ponto, o limite da derivada pela direita deve ser igual ao limite pela esquerda.
-
Limite pela direita (
): -
Limite pela esquerda (
):
Passo 7
Como
, os limites não são iguais. Isso significa que a derivada não existe em
.
Resposta
A derivada de
não existe em
. Para
, a derivada é:
Exercícios relacionados
Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton:
derivada de
no ponto
Escreva a equação da reta tangente as curvas
no ponto especificado. Esboce o gráfico de
e da reta tangente.
no ponto
Escreva a equação da reta tangente as curvas
no ponto especificado. Esboce o gráfico de
e da reta tangente.
no ponto
Encontre as derivadas das seguintes funções: