Escreva uma equação vetorial e uma equação geral do plano que contém e .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos que encontrar uma equação vetorial e uma equação geral de um plano que contém o ponto e a linha dada por:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica relacionados a planos e linhas no espaço tridimensional.
Passo 2
Vamos começar entendendo a equação da linha . A equação está na forma simétrica:
Podemos reescrever a parte como para deixar as proporções iguais:
Isso nos mostra que a linha passa pelo ponto e tem um vetor diretor.
Passo 3
Agora, como queremos um plano que contenha o ponto e a linha , precisamos de dois vetores que estão no plano :
O vetor que vai de até um ponto qualquer na linha . Podemos usar o ponto da linha . Então, esse vetor é:
O vetor diretor da linha , que já temos:
Passo 4
Para encontrar a equação geral do plano, precisamos determinar um vetor normal ao plano . Esse vetor normal pode ser encontrado pelo produto vetorial entre os dois vetores que estão no plano:
Calculando o produto vetorial:
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por 3:
Passo 5
Com o vetor normal e o ponto , podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:
Onde é um ponto genérico no plano. Substituindo os valores:
Simplificando:
Portanto, a equação geral do plano é:
Passo 6
Agora, para a equação vetorial do plano , usamos o ponto e os dois vetores que estão no plano: e . A equação vetorial fica: