Escreva uma equação vetorial e uma equação geral do plano que contém e .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos que encontrar uma equação vetorial e uma equação geral de um plano que contém o ponto e a linha dada por:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica relacionados a planos e linhas no espaço tridimensional.
Passo 2
Vamos começar entendendo a equação da linha . A equação está na forma simétrica:
Podemos reescrever a parte como para deixar as proporções iguais:
Isso nos mostra que a linha passa pelo ponto e tem um vetor diretor.
Passo 3
Agora, como queremos um plano que contenha o ponto e a linha , precisamos de dois vetores que estão no plano :
O vetor que vai de até um ponto qualquer na linha . Podemos usar o ponto da linha . Então, esse vetor é:
O vetor diretor da linha , que já temos:
Passo 4
Para encontrar a equação geral do plano, precisamos determinar um vetor normal ao plano . Esse vetor normal pode ser encontrado pelo produto vetorial entre os dois vetores que estão no plano:
Calculando o produto vetorial:
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por 3:
n = (-3, 2, 0)
Passo 5
Com o vetor normal n = (-3, 2, 0) e o ponto A=(1,0,-1), podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:
n cdot (r - A) = 0
Onde r = (x, y, z) é um ponto genérico no plano. Substituindo os valores:
-3(x-1) + 2(y-0) + 0(z+1) = 0
Simplificando:
-3x + 3 + 2y = 0 Rightarrow 3x - 2y = 3
Portanto, a equação geral do plano é:
3x - 2y = 3
Passo 6
Agora, para a equação vetorial do plano pi, usamos o ponto A=(1,0,-1) e os dois vetores que estão no plano: AP = (0,0,3) e vr = (2,3,-1). A equação vetorial fica: