Escreva uma equação vetorial e uma equação geral do plano pi que contém A=(1,0,-1) e r:(x-1) / 2=y / 3=2-z.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos que encontrar uma equação vetorial e uma equação geral de um plano pi que contém o ponto A=(1,0,-1) e a linha r dada por:
x-12 = y3 = 2 - z
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica relacionados a planos e linhas no espaço tridimensional.

Passo 2

Vamos começar entendendo a equação da linha r. A equação está na forma simétrica:
x-12 = y3 = 2 - z
Podemos reescrever a parte 2 - z como z-2-1 para deixar as proporções iguais:
x-12 = y3 = z-2-1
Isso nos mostra que a linha r passa pelo ponto P=(1,0,2) e tem um vetor diretor vr = (2, 3, -1).

Passo 3

Agora, como queremos um plano que contenha o ponto A=(1,0,-1) e a linha r, precisamos de dois vetores que estão no plano pi:
  1. O vetor que vai de A até um ponto qualquer na linha r. Podemos usar o ponto P=(1,0,2) da linha r. Então, esse vetor é:
AP = P - A = (1-1, 0-0, 2-(-1)) = (0, 0, 3)
  1. O vetor diretor da linha r, que já temos:
vr = (2, 3, -1)

Passo 4

Para encontrar a equação geral do plano, precisamos determinar um vetor normal n ao plano pi. Esse vetor normal pode ser encontrado pelo produto vetorial entre os dois vetores que estão no plano:
n = AP times vr
Calculando o produto vetorial:
n = i & j & k 0 & 0 & 3 2 & 3 & -1 = (0 cdot (-1) - 3 cdot 3)i - (0 cdot (-1) - 3 cdot 2)j + (0 cdot 3 - 0 cdot 2)k = (-9, 6, 0)
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por 3:
n = (-3, 2, 0)

Passo 5

Com o vetor normal n = (-3, 2, 0) e o ponto A=(1,0,-1), podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:
n cdot (r - A) = 0
Onde r = (x, y, z) é um ponto genérico no plano. Substituindo os valores:
-3(x-1) + 2(y-0) + 0(z+1) = 0
Simplificando:
-3x + 3 + 2y = 0 Rightarrow 3x - 2y = 3
Portanto, a equação geral do plano é:
3x - 2y = 3

Passo 6

Agora, para a equação vetorial do plano pi, usamos o ponto A=(1,0,-1) e os dois vetores que estão no plano: AP = (0,0,3) e vr = (2,3,-1). A equação vetorial fica:
r = A + sAP + tvr
Escrevendo em termos de coordenadas:
r = (1,0,-1) + s(0,0,3) + t(2,3,-1)
Onde s e t são parâmetros reais.

Resposta

A equação vetorial do plano pi é:
r = (1,0,-1) + s, (0,0,3) + t, (2,3,-1)
E a equação geral do plano pi é:
3x - 2y = 3

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