Obtenha uma base ortonormal para o subespaço vetorial S de R^4 gerado pelos elementos
v1=(1,1,1,1), v2=(1,1,2,4) e v3=(1,2,-4,-3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar uma base ortonormal para um subespaço de gerado pelos vetores , e . Isso significa que queremos um conjunto de vetores que sejam todos perpendiculares entre si (ortogonais) e com comprimento 1 (normalizados), que ainda assim conseguem “gerar” todo o subespaço . Para isso, vamos usar o processo de Gram-Schmidt, uma técnica de álgebra linear que transforma um conjunto de vetores em uma base ortonormal.

Passo 2

Primeiro, pegamos o primeiro vetor |v| = raizv1^2 + v2^2 + v3^2 + v4^2 e vamos normalizá-lo. Normalizar significa dividir o vetor pelo seu comprimento (ou norma) para que ele tenha comprimento 1. A fórmula para a norma de um vetor |v1| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz4 = 2 é:
u1 = v1|v1| = (12, 12, 12, 12)
Calculando para :
Então, o primeiro vetor ortonormal é:

Passo 3

Agora, vamos trabalhar com o segundo vetor, proju1(v2) = ( v2 cdot u1u1 cdot u1 ) u1 . Precisamos torná-lo ortogonal a v2 cdot u1 = 1 cdot 12 + 1 cdot 12 + 2 cdot 12 + 4 cdot 12 = 1 + 1 + 2 + 42 = 82 = 4 . Para isso, subtraímos de proju1(v2) = 4 cdot (12, 12, 12, 12) = (2, 2, 2, 2) a projeção de w2 = v2 - proju1(v2) = (1,1,2,4) - (2,2,2,2) = (-1, -1, 0, 2) em |w2| = raiz(-1)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 2^2 = raiz1 + 1 + 0 + 4 = raiz6 :
u2 = w2|w2| = ( -1raiz6, -1raiz6, 0, 2raiz6 )
Calculando o produto interno :
Como , temos:
Agora, subtraímos isso de :
Agora, normalizamos para obter :
Então,

Passo 4

Agora, vamos para o terceiro vetor w3 = v3 - proju1(v3) - proju2(v3) . Precisamos torná-lo ortogonal tanto a v3 cdot u1 = 1 cdot 12 + 2 cdot 12 + (-4) cdot 12 + (-3) cdot 12 = 1 + 2 - 4 - 32 = -42 = -2 quanto a proju1(v3) = -2 cdot (12, 12, 12, 12) = (-1, -1, -1, -1) . Primeiro, subtraímos as projeções em v3 cdot u2 = 1 cdot (-1raiz6) + 2 cdot (-1raiz6) + (-4) cdot 0 + (-3) cdot (2raiz6) = -1 -2 + 0 -6raiz6 = -9raiz6 e proju2(v3) = -9raiz6 cdot ( -1raiz6, -1raiz6, 0, 2raiz6 ) = ( 96, 96, 0, -186 ) = ( 32, 32, 0, -3 ) :
w3 = v3 - proju1(v3) - proju2(v3) = (1,2,-4,-3) - (-1,-1,-1,-1) - ( 32, 32, 0, -3 )
Calculando (1,2,-4,-3) - (-1,-1,-1,-1) = (2,3,-3,-2) :
(2,3,-3,-2) - ( 32, 32, 0, -3 ) = ( 2 - 32, 3 - 32, -3 - 0, -2 - (-3) ) = ( 12, 32, -3, 1 )
Então,
|w3| = raiz(12)^2 + (32)^2 + (-3)^2 + 1^2 = raiz14 + 94 + 9 + 1 = raiz104 + 10 = raiz104 + 404 = raiz504 = raiz502 = 5raiz22
Agora, calculamos u3 = w3|w3| = ( 125raiz22, 325raiz22, -35raiz22, 15raiz22 ) = ( 15raiz2, 35raiz2, -65raiz2, 25raiz2 ) :
Então,
Agora, subtraímos essas projeções de :
Calculando passo a passo:
Agora,
Agora, normalizamos para obter :
Então,

Resposta

A base ortonormal para o subespaço u1 = ( 12, 12, 12, 12 ), u2 = ( -1raiz6, -1raiz6, 0, 2raiz6 ), u3 = ( 15raiz2, 35raiz2, -65raiz2, 25raiz2 ) é composta pelos vetores:

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