Obtenha uma base ortonormal para o subespaço vetorial
de
gerado pelos elementos
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar uma base ortonormal para um subespaço
de
gerado pelos vetores
,
e
. Isso significa que queremos um conjunto de vetores que sejam todos perpendiculares entre si (ortogonais) e com comprimento 1 (normalizados), que ainda assim conseguem “gerar” todo o subespaço
. Para isso, vamos usar o processo de Gram-Schmidt, uma técnica de álgebra linear que transforma um conjunto de vetores em uma base ortonormal.
Passo 2
Primeiro, pegamos o primeiro vetor
e vamos normalizá-lo. Normalizar significa dividir o vetor pelo seu comprimento (ou norma) para que ele tenha comprimento 1. A fórmula para a norma de um vetor
é:
Calculando para
:
Então, o primeiro vetor ortonormal é:
Passo 3
Agora, vamos trabalhar com o segundo vetor,
. Precisamos torná-lo ortogonal a
. Para isso, subtraímos de
a projeção de
em
:
Calculando o produto interno
:
Como
, temos:
Agora, subtraímos isso de
:
Agora, normalizamos
para obter
:
Então,
Passo 4
Agora, vamos para o terceiro vetor
. Precisamos torná-lo ortogonal tanto a
quanto a
. Primeiro, subtraímos as projeções em
e
:
Calculando
:
Então,
Agora, calculamos
:
Então,
Agora, subtraímos essas projeções de
:
Calculando passo a passo:
Agora,
Agora, normalizamos
para obter
:
Então,
Resposta
A base ortonormal para o subespaço
é composta pelos vetores: