Verifique se os pontos A=(1,0,2), B=(-3,4,0) e C=(-1,2,1) são colineares ou nâo. Idem para Q=(0,0,0), P=(1,1,0) e Q=(1,1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se os pontos , e são colineares ou não. Além disso, também vamos fazer o mesmo para os pontos , e . Vamos usar conceitos de geometria analítica e vetores para descobrir isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa pontos serem colineares. Três pontos são colineares se eles estiverem todos alinhados em uma mesma reta. Uma maneira de verificar isso é analisando os vetores formados por esses pontos. Se os vetores estiverem na mesma direção (ou seja, um é múltiplo do outro), então os pontos são colineares.

Passo 3

Vamos começar com os pontos AB = B - A = (-3 - 1, 4 - 0, 0 - 2) = (-4, 4, -2) , AC = C - A = (-1 - 1, 2 - 0, 1 - 2) = (-2, 2, -1) e . Primeiro, vamos formar os vetores e :
Agora, vamos verificar se existe um escalar tal que .

Passo 4

Vamos comparar as componentes dos vetores:
-4 = lambda (-2) Rightarrow lambda = 2
4 = lambda (2) Rightarrow lambda = 2
-2 = lambda (-1) Rightarrow lambda = 2
Como conseguimos o mesmo valor de em todas as componentes, isso significa que é múltiplo de . Portanto, os pontos , e são colineares.

Passo 5

Agora, vamos verificar para os pontos QP = P - Q = (1 - 0, 1 - 0, 0 - 0) = (1, 1, 0) , QR = R - Q = (1 - 0, 1 - 0, 1 - 0) = (1, 1, 1) e . Na verdade, parece que o ponto foi usado duas vezes, então vamos considerar que o terceiro ponto seja . Vamos formar os vetores e :
Vamos ver se existe um escalar tal que .

Passo 6

Comparando as componentes dos vetores:
1 = mu (1) Rightarrow mu = 1
1 = mu (1) Rightarrow mu = 1
0 = mu (1) Rightarrow mu = 0
Aqui, não conseguimos um valor único de que satisfaz todas as equações (temos e ). Isso significa que e não estão na mesma direção.

Resposta

Os pontos , e são colineares, mas os pontos , e não são colineares.

Exercícios relacionados