Seja o subespaço vetorial das matrizes triangulares inferiores e o o subespaço vetorial das matrizes triangulares superiores. Prove que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre matrizes e subespaços vetoriais. Especificamente, temos dois conjuntos de matrizes: , que são as matrizes triangulares inferiores, e , que são as matrizes triangulares superiores. A tarefa é provar que qualquer matriz quadrada de ordem , chamada , pode ser escrita como a soma de uma matriz de e outra de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são matrizes triangulares e como somá-las.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são matrizes triangulares inferiores e superiores. Uma matriz triangular inferior é uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal principal são zero. Já uma matriz triangular superior tem todos os elementos abaixo da diagonal principal iguais a zero.
Por exemplo, para :
Passo 3
Agora, para provar que qualquer matriz A in Mn(R) pode ser escrita como A = L + U, onde L in W1 e U in W2, vamos construir explicitamente essas matrizes L e U.
Passo 4
Vamos considerar uma matriz genérica A = [aij] de ordem n. Queremos encontrar L e U tais que:
A = L + U
Onde:
L = [lij] é uma matriz triangular inferior, ou seja, lij = 0 para i < j.
U = [uij] é uma matriz triangular superior, ou seja, uij = 0 para i > j.
Passo 5
Para construir L e U, vamos definir cada elemento de A da seguinte forma:
Se i > j (abaixo da diagonal), atribuímos lij = aij e uij = 0.
Se i < j (acima da diagonal), atribuímos lij = 0 e uij = aij.
Se i = j (na diagonal), podemos distribuir igualmente ou atribuir totalmente a uma das matrizes. Vamos atribuir lij = uij = aij2 para manter a simetria.
Ou seja, cada elemento de A é recuperado pela soma correspondente de L e U.
Resposta
Assim, mostramos que qualquer matriz A in Mn(R) pode ser escrita como a soma de uma matriz triangular inferior L in W1 e uma matriz triangular superior U in W2, ou seja, Mn(R) = W1 + W2.