Seja W1 o subespaço vetorial das matrizes triangulares inferiores e o W2 o subespaço vetorial das matrizes triangulares superiores. Prove que Mn(R)=W1+W2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre matrizes e subespaços vetoriais. Especificamente, temos dois conjuntos de matrizes: W1, que são as matrizes triangulares inferiores, e W2, que são as matrizes triangulares superiores. A tarefa é provar que qualquer matriz quadrada de ordem n, chamada Mn(R), pode ser escrita como a soma de uma matriz de W1 e outra de W2. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são matrizes triangulares e como somá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são matrizes triangulares inferiores e superiores. Uma matriz triangular inferior é uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal principal são zero. Já uma matriz triangular superior tem todos os elementos abaixo da diagonal principal iguais a zero.
Por exemplo, para n=3:
Matriz Triangular Inferior: a & 0 & 0 b & c & 0 d & e & f , Matriz Triangular Superior: g & h & i 0 & j & k 0 & 0 & l

Passo 3

Agora, para provar que qualquer matriz A in Mn(R) pode ser escrita como A = L + U, onde L in W1 e U in W2, vamos construir explicitamente essas matrizes L e U.

Passo 4

Vamos considerar uma matriz genérica A = [aij] de ordem n. Queremos encontrar L e U tais que:
A = L + U
Onde:
  • L = [lij] é uma matriz triangular inferior, ou seja, lij = 0 para i < j.
  • U = [uij] é uma matriz triangular superior, ou seja, uij = 0 para i > j.

Passo 5

Para construir L e U, vamos definir cada elemento de A da seguinte forma:
  • Se i > j (abaixo da diagonal), atribuímos lij = aij e uij = 0.
  • Se i < j (acima da diagonal), atribuímos lij = 0 e uij = aij.
  • Se i = j (na diagonal), podemos distribuir igualmente ou atribuir totalmente a uma das matrizes. Vamos atribuir lij = uij = aij2 para manter a simetria.

Passo 6

Assim, temos:
L = a112 & 0 & cdots & 0 a21 & a222 & ddots & vdots vdots & ddots & ddots & 0 an1 & cdots & an,n-1 & ann2 , U = a112 & a12 & cdots & a1n 0 & a222 & ddots & vdots vdots & ddots & ddots & an-1,n 0 & cdots & 0 & ann2

Passo 7

Agora, somando L e U, temos:
L + U = a112 + a112 & 0 + a12 & cdots & 0 + a1n a21 + 0 & a222 + a222 & ddots & vdots vdots & ddots & ddots & an-1,n an1 + 0 & cdots & 0 + 0 & ann2 + ann2 = A
Ou seja, cada elemento de A é recuperado pela soma correspondente de L e U.

Resposta

Assim, mostramos que qualquer matriz A in Mn(R) pode ser escrita como a soma de uma matriz triangular inferior L in W1 e uma matriz triangular superior U in W2, ou seja, Mn(R) = W1 + W2.

Exercícios relacionados