Sabendo que W1=(x, y, z, t) in R^4 mid y+z=t e W2=(x, y, z, t) in R^4 mid x-y=0 e z-t=0, determine as dimensões de W1+W2 e W1 cap W2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois conjuntos de vetores no espaço :
O que a gente precisa descobrir são as dimensões da soma desses conjuntos ( ) e da interseção deles ( ). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como subespaços, dimensões e interseções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada conjunto separadamente. Começamos com (x, y, z, y + z) .
Para : A condição é . Isso significa que, se conhecemos e , podemos determinar como . As variáveis podem ser livres, ou seja, podem assumir qualquer valor real.
Então, podemos representar um vetor em da seguinte forma:
Aqui, , e são variáveis livres.

Passo 3

Agora, vamos para x = y e z = t .
Para (y, y, t, t) : As condições são e . Simplificando, temos:
Isso significa que e são iguais, e e também são iguais. Portanto, podemos expressar os vetores em como:
Aqui, e são variáveis livres.

Passo 4

Agora que entendemos como são os vetores em dim(W1) = 3 e dim(W2) = 2 , vamos encontrar as dimensões de cada um desses subespaços.
Dimensão de :
Em , temos três variáveis livres: , e . Cada variável livre corresponde a uma dimensão. Portanto:
Dimensão de :
Em , temos duas variáveis livres: e . Assim:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a interseção y + z = t (de W1) . Isso significa encontrar todos os vetores que estão em ambos os conjuntos x = y e z = t (de W2) e y + t = t implies y = 0 .
Para estar em (0, 0, t, t) , um vetor dim(W1 cap W2) = 1 deve satisfazer as condições de e de ao mesmo tempo.
Condições combinadas:
Substituindo na primeira equação:
E como , então . Também permanece.
Portanto, os vetores em são:
Aqui, apenas é a variável livre.
Dimensão de :

Passo 6

Agora que temos as dimensões de dim(W1 + W2) = dim(W1) + dim(W2) - dim(W1 cap W2) , dim(W1 + W2) = 3 + 2 - 1 = 4 e , podemos usar a fórmula da dimensão da soma de dois subespaços:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A dimensão de é 4 e a dimensão de é 1.

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