Sabendo que
e
e
, determine as dimensões de
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois conjuntos de vetores no espaço
:
O que a gente precisa descobrir são as dimensões da soma desses conjuntos (
) e da interseção deles (
). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como subespaços, dimensões e interseções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada conjunto separadamente. Começamos com
.
Para
: A condição é
. Isso significa que, se conhecemos
e
, podemos determinar
como
. As variáveis
podem ser livres, ou seja, podem assumir qualquer valor real.
Então, podemos representar um vetor em
da seguinte forma:
Aqui,
,
e
são variáveis livres.
Passo 3
Agora, vamos para
.
Para
: As condições são
e
. Simplificando, temos:
Isso significa que
e
são iguais, e
e
também são iguais. Portanto, podemos expressar os vetores em
como:
Aqui,
e
são variáveis livres.
Passo 4
Agora que entendemos como são os vetores em
e
, vamos encontrar as dimensões de cada um desses subespaços.
Dimensão de
:
Em
, temos três variáveis livres:
,
e
. Cada variável livre corresponde a uma dimensão. Portanto:
Dimensão de
:
Em
, temos duas variáveis livres:
e
. Assim:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a interseção
. Isso significa encontrar todos os vetores que estão em ambos os conjuntos
e
.
Para estar em
, um vetor
deve satisfazer as condições de
e de
ao mesmo tempo.
Condições combinadas:
Substituindo
na primeira equação:
E como
, então
. Também
permanece.
Portanto, os vetores em
são:
Aqui, apenas
é a variável livre.
Dimensão de
:
Passo 6
Agora que temos as dimensões de
,
e
, podemos usar a fórmula da dimensão da soma de dois subespaços:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A dimensão de
é 4 e a dimensão de
é 1.