Escreva equações paramétricas para as curvas abaixo, indicando a orientação.
(h) O círculo de centro em
e raio
.
(h) O círculo de centro em
Passo 1
Então, a gente tem que escrever as equações paramétricas de um círculo que está centrado em
e tem raio
. A matéria que vamos usar aqui é geometria analítica, especificamente sobre como representar curvas no plano usando parâmetros. Para isso, vamos precisar entender como transformar a equação geral do círculo em uma forma paramétrica.
Passo 2
Primeiro, lembrando a equação geral do círculo:
. Essa equação descreve todos os pontos
que estão a uma distância
do centro
.
Passo 3
Para escrever as equações paramétricas, vamos usar um parâmetro, que geralmente é o ângulo
, que varia de
a
radianos. Esse parâmetro vai nos ajudar a percorrer todos os pontos do círculo à medida que
muda.
Passo 4
As equações paramétricas básicas de um círculo de raio
e centro na origem
são:
Essas equações trazem todos os pontos do círculo conforme
varia.
Passo 5
Como o centro do nosso círculo não está na origem, mas sim em
, precisamos ajustar as equações paramétricas para refletir esse deslocamento. Isso é feito adicionando
e
às equações de
e
, respectivamente.
Passo 6
Então, as equações paramétricas do círculo com centro em
e raio
ficam:
Onde
vai de
a
para percorrer todo o círculo.
Passo 7
Sobre a orientação, como
aumenta de
a
, a representação gráfica dessas equações paramétricas traça o círculo no sentido anti-horário.
Resposta
As equações paramétricas do círculo com centro em
e raio
são:
com
variando de
a
, e a orientação é no sentido anti-horário.