a) Mostre que a soma de duas funções limitadas f, g: X -> R é uma função limitada.
b) Mostre que sup(f+g) <= sup(f) + sup(g).
c) Considerando as funções f, g: [-1, 1] -> R, definidas por f(x) = x e g(x) = -x, mostre que pode-se ter sup(f+g) < sup(f) + sup(g) e inf(f + g) > inf(f) + inf(g).

Passo 1

Resumo do Exercício:
Estamos trabalhando com funções limitadas no contexto de análise real. O enunciado tem três partes:
a) Provar que a soma de duas funções limitadas é também uma função limitada.
b) Mostrar que o supremo da soma das funções é menor ou igual à soma dos supremos das funções.
c) Demonstrar, com funções específicas, que o supremo da soma pode ser menor que a soma dos supremos e que o ínfimo da soma pode ser maior que a soma dos ínfimos.
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de funções limitadas, supremo (sup) e ínfimo (inf), além de como esses conceitos interagem quando somamos funções.

Passo 2

Parte a) A Soma de Duas Funções Limitadas é Limitada:
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser limitada. Uma função é limitada se existe um número real tal que para todo em , .
Agora, suponha que temos duas funções limitadas e . Isso significa que existem números e tais que:
Queremos mostrar que a função também é limitada. Vamos ver:
Portanto, podemos escolher , garantindo que para todo .

Passo 3

Parte b) Superior da Soma das Funções:
Queremos mostrar que:
Lembrando que é o menor limite superior de , ou seja, o menor número que é maior ou igual a todos os valores de .
Para qualquer :
Isso porque e para todo .
Assim, o maior valor que pode atingir é , portanto:

Passo 4

Parte c) Exemplificando com Funções Específicas:
Vamos considerar definidas por:
Primeiro, vamos encontrar e :
á
Agora, somando as funções:
Então:
Assim, .
Para o ínfimo, temos:

Resposta

a) A soma de duas funções limitadas e é uma função limitada.
b) .
c) Com e , temos e .

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