a) Mostre que a soma de duas funções limitadas é uma função limitada.
b) Mostre que .
c) Considerando as funções , definidas por e , mostre que pode-se ter e .
Passo 1
**Resumo do Exercício:**
Estamos trabalhando com funções limitadas no contexto de análise real. O enunciado tem três partes:
a) Provar que a soma de duas funções limitadas é também uma função limitada.
b) Mostrar que o supremo da soma das funções é menor ou igual à soma dos supremos das funções.
c) Demonstrar, com funções específicas, que o supremo da soma pode ser menor que a soma dos supremos e que o ínfimo da soma pode ser maior que a soma dos ínfimos.
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de funções limitadas, supremo (`sup`) e ínfimo (`inf`), além de como esses conceitos interagem quando somamos funções.
Passo 2
**Parte a) A Soma de Duas Funções Limitadas é Limitada:**
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser limitada. Uma função é limitada se existe um número real tal que para todo em , .
Agora, suponha que temos duas funções limitadas e . Isso significa que existem números e tais que:
Queremos mostrar que a função também é limitada. Vamos ver:
Portanto, podemos escolher , garantindo que para todo .
Passo 3
**Parte b) Superior da Soma das Funções:**
Queremos mostrar que:
Lembrando que é o menor limite superior de , ou seja, o menor número que é maior ou igual a todos os valores de .
Para qualquer :
Isso porque e para todo .
Assim, o maior valor que pode atingir é , portanto:
Passo 4
**Parte c) Exemplificando com Funções Específicas:**
Vamos considerar definidas por:
Primeiro, vamos encontrar e :
Agora, somando as funções:
Então:
Assim, .
Para o ínfimo, temos:
Resposta
a) A soma de duas funções limitadas e é uma função limitada.
b) .
c) Com e , temos e .