a) Mostre que a soma de duas funções limitadas é uma função limitada. b) Mostre que . c) Considerando as funções , definidas por e , mostre que pode-se ter e .

Passo 1

**Resumo do Exercício:** Estamos trabalhando com funções limitadas no contexto de análise real. O enunciado tem três partes: a) Provar que a soma de duas funções limitadas é também uma função limitada. b) Mostrar que o supremo da soma das funções é menor ou igual à soma dos supremos das funções. c) Demonstrar, com funções específicas, que o supremo da soma pode ser menor que a soma dos supremos e que o ínfimo da soma pode ser maior que a soma dos ínfimos. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de funções limitadas, supremo (`sup`) e ínfimo (`inf`), além de como esses conceitos interagem quando somamos funções.

Passo 2

**Parte a) A Soma de Duas Funções Limitadas é Limitada:** Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser limitada. Uma função é limitada se existe um número real tal que para todo em , . Agora, suponha que temos duas funções limitadas e . Isso significa que existem números e tais que: Queremos mostrar que a função também é limitada. Vamos ver: Portanto, podemos escolher , garantindo que para todo .

Passo 3

**Parte b) Superior da Soma das Funções:** Queremos mostrar que: Lembrando que é o menor limite superior de , ou seja, o menor número que é maior ou igual a todos os valores de . Para qualquer : Isso porque e para todo . Assim, o maior valor que pode atingir é , portanto:

Passo 4

**Parte c) Exemplificando com Funções Específicas:** Vamos considerar definidas por: Primeiro, vamos encontrar e : á Agora, somando as funções: Então: Assim, . Para o ínfimo, temos:

Resposta

a) A soma de duas funções limitadas e é uma função limitada. b) . c) Com e , temos e .

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