a) Mostre que a soma de duas funções limitadas
é uma função limitada.
b) Mostre que
.
c) Considerando as funções
, definidas por
e
, mostre que pode-se ter
e
.
b) Mostre que
c) Considerando as funções
Passo 1
Resumo do Exercício:
Estamos trabalhando com funções limitadas no contexto de análise real. O enunciado tem três partes:
a) Provar que a soma de duas funções limitadas é também uma função limitada.
b) Mostrar que o supremo da soma das funções é menor ou igual à soma dos supremos das funções.
c) Demonstrar, com funções específicas, que o supremo da soma pode ser menor que a soma dos supremos e que o ínfimo da soma pode ser maior que a soma dos ínfimos.
Estamos trabalhando com funções limitadas no contexto de análise real. O enunciado tem três partes:
a) Provar que a soma de duas funções limitadas é também uma função limitada.
b) Mostrar que o supremo da soma das funções é menor ou igual à soma dos supremos das funções.
c) Demonstrar, com funções específicas, que o supremo da soma pode ser menor que a soma dos supremos e que o ínfimo da soma pode ser maior que a soma dos ínfimos.
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de funções limitadas, supremo (
sup
) e ínfimo (inf
), além de como esses conceitos interagem quando somamos funções.Passo 2
Parte a) A Soma de Duas Funções Limitadas é Limitada:
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser limitada. Uma função
é limitada se existe um número real
tal que para todo
em
,
.
Agora, suponha que temos duas funções limitadas
e
. Isso significa que existem números
e
tais que:
Queremos mostrar que a função
também é limitada. Vamos ver:
Portanto, podemos escolher
, garantindo que
para todo
.
Passo 3
Parte b) Superior da Soma das Funções:
Queremos mostrar que:
Lembrando que
é o menor limite superior de
, ou seja, o menor número que é maior ou igual a todos os valores de
.
Para qualquer
:
Isso porque
e
para todo
.
Assim, o maior valor que
pode atingir é
, portanto:
Passo 4
Parte c) Exemplificando com Funções Específicas:
Vamos considerar
definidas por:
Primeiro, vamos encontrar
e
:
Agora, somando as funções:
Então:
Assim,
.
Para o ínfimo, temos:
Resposta
a) A soma de duas funções limitadas
e
é uma função limitada.
b)
.
c) Com
e
, temos
e
.