Use exemplos para mostrar que as afirmações a seguir são falsas. Se
e
então
não existe
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que a afirmação “Se
e
, então
não existe” é falsa. Isso está relacionado ao estudo de limites de funções, especialmente quando temos a indeterminação do tipo
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a afirmação diz. Ela sugere que se duas funções
e
chegam a 0 quando
se aproxima de 1, então o limite da razão
não existirá. Para provar que essa afirmação é falsa, basta encontrarmos um exemplo onde as duas funções tendem a 0, mas a razão delas tem um limite definido.
Passo 3
Vamos construir um exemplo simples. Seja
e
. Claramente, quando
se aproxima de 1, ambas as funções tendem a 0:
Agora, vamos calcular a razão
:
Portanto, o limite da razão é:
Isso mostra que a razão
tem um limite definido, mesmo que ambas as funções tendam a 0.
Passo 4
Vamos fazer outro exemplo para reforçar. Seja
e
. Calculando os limites:
Agora, a razão:
E o limite:
Mais uma vez, a razão tem um limite definido.
Resposta
Os exemplos mostram que, mesmo com
e
, a
pode existir. Assim, a afirmação original é falsa.