Use exemplos para mostrar que as afirmações a seguir são falsas. Se lim x 1 f(x)=0 e lim x 1 g(x)=0 então lim x 1 f(x)g(x) não existe

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que a afirmação “Se e , então não existe” é falsa. Isso está relacionado ao estudo de limites de funções, especialmente quando temos a indeterminação do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a afirmação diz. Ela sugere que se duas funções e chegam a 0 quando se aproxima de 1, então o limite da razão não existirá. Para provar que essa afirmação é falsa, basta encontrarmos um exemplo onde as duas funções tendem a 0, mas a razão delas tem um limite definido.

Passo 3

Vamos construir um exemplo simples. Seja limx 1 f(x) = limx 1 (x - 1) = 0 e limx 1 g(x) = limx 1 (x - 1) = 0 . Claramente, quando f(x)g(x) = x - 1x - 1 = 1 (para x neq 1) se aproxima de 1, ambas as funções tendem a 0:
limx 1 f(x)g(x) = limx 1 1 = 1
Agora, vamos calcular a razão :
Portanto, o limite da razão é:
Isso mostra que a razão tem um limite definido, mesmo que ambas as funções tendam a 0.

Passo 4

Vamos fazer outro exemplo para reforçar. Seja limx 1 f(x) = limx 1 (x - 1)^2 = 0 e limx 1 g(x) = limx 1 (x - 1) = 0 . Calculando os limites:
f(x)g(x) = (x - 1)^2x - 1 = x - 1 (para x neq 1)
limx 1 f(x)g(x) = limx 1 (x - 1) = 0
Agora, a razão:
E o limite:
Mais uma vez, a razão tem um limite definido.

Resposta

Os exemplos mostram que, mesmo com e , a pode existir. Assim, a afirmação original é falsa.

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