Escreva equações paramétricas para as curvas abaixo, indicando a orientação.
(j) A elipse de equação
.
(j) A elipse de equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para escrever equações paramétricas para uma elipse dada pela equação
. A gente vai precisar usar o que a gente sabe sobre equações paramétricas de elipses e entender como elas descrevem a curvatura e a orientação da elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma elipse centrada no ponto
com semi-eixos
e
pode ser descrita de forma paramétrica usando funções trigonométricas. A ideia é representar as coordenadas
e
em termos de um parâmetro
, que geralmente é o ângulo.
Passo 3
A fórmula geral das equações paramétricas para uma elipse é:
Aqui,
varia de
a
para percorrer toda a elipse.
Passo 4
Vamos entender cada parte:
-
e são as coordenadas do centro da elipse. -
é o comprimento do semi-eixo maior (horizontal, se ). -
é o comprimento do semi-eixo menor (vertical, se ). -
e nos ajudam a mover ao redor da elipse conforme varia.
Passo 5
Quanto à orientação, ao usar
para
e
para
, a elipse é percorrida no sentido anti-horário à medida que
aumenta de
a
.
Resposta
As equações paramétricas para a elipse dada são:
com
variando de
a
, indicando uma orientação anti-horária.
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seja uma solução da ED dada
A)
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Escreva equações paramétricas para as curvas abaixo, indicando a orientação.
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