Escreva equações paramétricas para as curvas abaixo, indicando a orientação.
(j) A elipse de equação .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para escrever equações paramétricas para uma elipse dada pela equação . A gente vai precisar usar o que a gente sabe sobre equações paramétricas de elipses e entender como elas descrevem a curvatura e a orientação da elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma elipse centrada no ponto com semi-eixos e pode ser descrita de forma paramétrica usando funções trigonométricas. A ideia é representar as coordenadas e em termos de um parâmetro , que geralmente é o ângulo.

Passo 3

A fórmula geral das equações paramétricas para uma elipse é:
Aqui, varia de a para percorrer toda a elipse.

Passo 4

Vamos entender cada parte:
  • e são as coordenadas do centro da elipse.
  • é o comprimento do semi-eixo maior (horizontal, se ).
  • é o comprimento do semi-eixo menor (vertical, se ).
  • e nos ajudam a mover ao redor da elipse conforme varia.

Passo 5

Quanto à orientação, ao usar para e para , a elipse é percorrida no sentido anti-horário à medida que aumenta de a .

Resposta

As equações paramétricas para a elipse dada são:
com variando de a , indicando uma orientação anti-horária.

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A)
Escreva equações paramétricas para as curvas abaixo, indicando a orientação.
(1) A hipérbole de equação .