Nos exercícios 06 a 14, calcule o volume do sólido descrito em cada caso, usando integração tripla.
09. Sólido do primeiro octante, delimitado pelos planos e pelo cilindro .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está no primeiro octante, ou seja, onde , e são positivos. Esse sólido é limitado pelos planos , , e pelo cilindro . Para resolver isso, vamos usar a integração tripla, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de regiões tridimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as fronteiras desse sólido. Estamos no primeiro octante, então , e . As limites que delimitam o sólido são:
  • Plano : Isso define o limite onde começa, ou seja, não pode ser negativo.
  • Plano : Similarmente, não pode ser negativo.
  • Plano : Este é um plano inclinado que relaciona e .
  • Cilindro : Esse cilindro relaciona e .

Passo 3

Vamos encontrar a interseção entre o plano e o cilindro para entender os limites das integrais. Igualando as duas equações:
Como estamos no primeiro octante, , então:
Portanto, varia de 0 a 1.

Passo 4

Agora, para cada valor de entre 0 e 1, vamos determinar como varia. Da equação , vemos que vai de 0 até .

Passo 5

Para cada par , o valor de varia entre o plano e o cilindro . Assim, temos:

Passo 6

Agora que temos os limites de integração, podemos expressar o volume como uma integral tripla:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 7

Começamos pela integral mais interna, em relação a :
Agora, substituímos na integral dupla:
Integrando em relação a :
Então, o resultado da integral em é:

Passo 8

Agora, integramos em relação a :
Expandindo , temos:
Calculando cada integral:
Substituindo:
Calculando dentro dos colchetes:
Então:

Resposta

O volume do sólido descrito é unidades cúbicas.

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Nos exercícios 06 a 14, calcule o volume do sólido descrito em cada caso, usando integração tripla.
06. Cubo de aresta .
O volume de um certo sólido é dado por
Descreva o sólido por meio das equações das superfícies que o delimitam, e exprima o mesmo volume como uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.
Escreva equações paramétricas para as curvas abaixo, indicando a orientação.
(j) A elipse de equação .
Nos problemas abaixo, determine valores de modo que a função seja uma solução da ED dada
A)