Nos exercícios 06 a 14, calcule o volume do sólido descrito em cada caso, usando integração tripla.
09. Sólido do primeiro octante, delimitado pelos planos
e pelo cilindro
.
09. Sólido do primeiro octante, delimitado pelos planos
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está no primeiro octante, ou seja, onde
,
e
são positivos. Esse sólido é limitado pelos planos
,
,
e pelo cilindro
. Para resolver isso, vamos usar a integração tripla, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de regiões tridimensionais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as fronteiras desse sólido. Estamos no primeiro octante, então
,
e
. As limites que delimitam o sólido são:
- Plano
: Isso define o limite onde começa, ou seja, não pode ser negativo. - Plano
: Similarmente, não pode ser negativo. - Plano
: Este é um plano inclinado que relaciona e . - Cilindro
: Esse cilindro relaciona e .
Passo 3
Vamos encontrar a interseção entre o plano
e o cilindro
para entender os limites das integrais. Igualando as duas equações:
Como estamos no primeiro octante,
, então:
Portanto,
varia de 0 a 1.
Passo 4
Agora, para cada valor de
entre 0 e 1, vamos determinar como
varia. Da equação
, vemos que
vai de 0 até
.
Passo 5
Para cada par
, o valor de
varia entre o plano
e o cilindro
. Assim, temos:
Passo 6
Agora que temos os limites de integração, podemos expressar o volume
como uma integral tripla:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 7
Começamos pela integral mais interna, em relação a
:
Agora, substituímos na integral dupla:
Integrando em relação a
:
Então, o resultado da integral em
é:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Expandindo
, temos:
Calculando cada integral:
Substituindo:
Calculando dentro dos colchetes:
Então:
Resposta
O volume do sólido descrito é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Nos exercícios 06 a 14, calcule o volume do sólido descrito em cada caso, usando integração tripla.
06. Cubo de aresta .
06. Cubo de aresta
O volume de um certo sólido é dado por
Descreva o sólido por meio das equações das superfícies que o delimitam, e exprima o mesmo volume como uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.
Escreva equações paramétricas para as curvas abaixo, indicando a orientação.
(j) A elipse de equação .
(j) A elipse de equação
Nos problemas abaixo, determine valores de modo que a função
seja uma solução da ED dada
A)
A)