Nos exercícios 06 a 14, calcule o volume do sólido descrito em cada caso, usando integração tripla.
06. Cubo de aresta .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o volume de um cubo com aresta de tamanho usando integração tripla. Basicamente, a matéria que estamos lidando aqui é cálculo integral, mais especificamente integração em três dimensões. Para isso, vamos precisar entender como configurar e calcular uma integral tripla para encontrar o volume de um sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um cubo é um sólido com todas as arestas iguais. Nesse caso, cada aresta tem comprimento . Para calcular o volume usando integração tripla, precisamos definir os limites de integração para cada uma das três dimensões: , e .
Passo 3
Vamos configurar a integral tripla para o volume do cubo. Sabemos que o cubo vai de a em cada uma das direções , e . Assim, a integral fica assim:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral. Primeiro, integramos em relação a :
Depois, integramos o resultado em relação a :
Por fim, integramos em relação a :
Resposta
O volume do cubo de aresta é .
Exercícios relacionados
O volume de um certo sólido é dado por
Descreva o sólido por meio das equações das superfícies que o delimitam, e exprima o mesmo volume como uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.
Escreva equações paramétricas para as curvas abaixo, indicando a orientação.
(e) A reta de equação fixados).
Nos exercícios 06 a 14, calcule o volume do sólido descrito em cada caso, usando integração tripla.
09. Sólido do primeiro octante, delimitado pelos planos e pelo cilindro .
Escreva equações paramétricas para as curvas abaixo, indicando a orientação.
(j) A elipse de equação .