Nos exercícios 06 a 14, calcule o volume do sólido descrito em cada caso, usando integração tripla.
06. Cubo de aresta
.
06. Cubo de aresta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o volume de um cubo com aresta de tamanho
usando integração tripla. Basicamente, a matéria que estamos lidando aqui é cálculo integral, mais especificamente integração em três dimensões. Para isso, vamos precisar entender como configurar e calcular uma integral tripla para encontrar o volume de um sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um cubo é um sólido com todas as arestas iguais. Nesse caso, cada aresta tem comprimento
. Para calcular o volume usando integração tripla, precisamos definir os limites de integração para cada uma das três dimensões:
,
e
.
Passo 3
Vamos configurar a integral tripla para o volume do cubo. Sabemos que o cubo vai de
a
em cada uma das direções
,
e
. Assim, a integral fica assim:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral. Primeiro, integramos em relação a
:
Depois, integramos o resultado em relação a
:
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
O volume do cubo de aresta
é
.