Escreva equações paramétricas para as curvas abaixo, indicando a orientação.
(n) A hipérbole de equação .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever equações paramétricas para uma hipérbole dada pela equação . Aqui, estamos lidando com o conteúdo de Geometria Analítica, especificamente com hipérboles. Vamos precisar entender a forma padrão das equações paramétricas da hipérbole e como identificar a orientação dela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma hipérbole que abre verticalmente (para cima e para baixo) é dada por . Isso significa que nossa hipérbole está centrada no ponto e abre na direção vertical.
Passo 3
Para encontrar as equações paramétricas, usamos funções hiperbólicas semelhantes às funções trigonométricas para círculos. As equações paramétricas de uma hipérbole vertical são:
Aqui, é o parâmetro que varia ao longo das curvas da hipérbole, é a função seno hiperbólico e é a função cosseno hiperbólico.
Passo 4
A orientação da hipérbole indica para quais direções as ramos da hipérbole se abrem. Como nossa hipérbole tem a forma , ela se abre para cima e para baixo.
Resposta
As equações paramétricas para a hipérbole são:
A hipérbole está orientada verticalmente, abrindo para cima e para baixo.
Exercícios relacionados
Considere a sequência dada por e , para todo . Mostre que .
Escreva equações paramétricas para as curvas abaixo, indicando a orientação.
(g) O semicírculo superior: .
Considere a sequência definida por e , para todo .
a) Mostre que $0
Calcule o comprimento das curvas parametrizadas abaixo.
(b) .