Escreva as equações paramétricas do plano alpha nos casos a seguir.
c) alpha passa pelos pontos A(1,0,2), B(1,0,3) e C(2,1,3).

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver a equação paramétrica do plano alpha que passa pelos três pontos A(1,0,2), B(1,0,3) e C(2,1,3). Para isso, vamos precisar usar vetores e entender como encontrar dois vetores diretores do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar dois vetores que estão no plano alpha. A gente pode fazer isso calculando os vetores que ligam os pontos dados.
Vamos calcular o vetor AB, que vai de A para B:
AB = B - A = (1-1, 0-0, 3-2) = (0, 0, 1)
Agora, vamos calcular o vetor AC, que vai de A para C:
AC = C - A = (2-1, 1-0, 3-2) = (1, 1, 1)

Passo 3

Com os vetores AB = (0, 0, 1) e AC = (1, 1, 1), a gente já tem os dois vetores diretores do plano alpha. Agora, podemos escrever a equação paramétrica do plano.
A equação paramétrica de um plano pode ser escrita usando um ponto no plano e os vetores diretores. Usaremos o ponto A(1,0,2) como ponto de referência.

Passo 4

Vamos chamar os parâmetros de s e t. A equação paramétrica fica assim:
x = x0 + s cdot ux + t cdot vx y = y0 + s cdot uy + t cdot vy z = z0 + s cdot uz + t cdot vz
Onde (x0, y0, z0) é o ponto A, e (ux, uy, uz) e (vx, vy, vz) são os vetores AB e AC respectivamente.

Passo 5

Substituindo os valores:
  • Ponto A(1,0,2): x0 = 1, y0 = 0, z0 = 2
  • Vetor AB = (0, 0, 1): ux = 0, uy = 0, uz = 1
  • Vetor AC = (1, 1, 1): vx = 1, vy = 1, vz = 1
Assim, a equação fica:
x = 1 + 0 cdot s + 1 cdot t = 1 + t y = 0 + 0 cdot s + 1 cdot t = t z = 2 + 1 cdot s + 1 cdot t = 2 + s + t

Resposta

As equações paramétricas do plano alpha são:
x = 1 + t y = t z = 2 + s + t

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