Escreva as equações paramétricas do plano nos casos a seguir.
c) passa pelos pontos e .
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver a equação paramétrica do plano que passa pelos três pontos , e . Para isso, vamos precisar usar vetores e entender como encontrar dois vetores diretores do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar dois vetores que estão no plano . A gente pode fazer isso calculando os vetores que ligam os pontos dados.
Vamos calcular o vetor , que vai de para :
Agora, vamos calcular o vetor , que vai de para :
Passo 3
Com os vetores e , a gente já tem os dois vetores diretores do plano . Agora, podemos escrever a equação paramétrica do plano.
A equação paramétrica de um plano pode ser escrita usando um ponto no plano e os vetores diretores. Usaremos o ponto como ponto de referência.
Passo 4
Vamos chamar os parâmetros de e . A equação paramétrica fica assim:
Onde (x0, y0, z0) é o ponto A, e (ux, uy, uz) e (vx, vy, vz) são os vetores AB e AC respectivamente.
Passo 5
Substituindo os valores:
Ponto A(1,0,2): x0 = 1, y0 = 0, z0 = 2
Vetor AB = (0, 0, 1): ux = 0, uy = 0, uz = 1
Vetor AC = (1, 1, 1): vx = 1, vy = 1, vz = 1
Assim, a equação fica:
x = 1 + 0 cdot s + 1 cdot t = 1 + t y = 0 + 0 cdot s + 1 cdot t = t z = 2 + 1 cdot s + 1 cdot t = 2 + s + t